Sobre números perfectos y los invesos de sus divisores

Hace poco, me encontré con este interesante tuit

The sum of the reciprocals of all the divisors of a perfect number is 2. For example, for 28, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2
— Martin Gardner tweet (@WWMGT) diciembre 17, 2014

Que traducido resulta:

La suma de los inversos de todos los divisores de un número perfecto es 2. Por ejemplo, para 28, 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

En este artículo vamos a demostrar esta sencilla propiedad.
Recordemos conceptos. Un número se dice que es perfecto cuando él mismo es la suma de todos sus divisores propios (es decir, todos sus divisores, excepto él mismo).
El primer número perfecto es el 6, ya que sus divisores son 1,2,3 y 6, y 6=1+2+3.
El segundo número perfecto es el que alude el tuit anterior, 28. Los divisores propios del 28 son 1,2,4,7 y 14, y se cumple que 1+2+4+7+14=28.
Lo más importante de estos números es que están estrechamente relacionados con los primos más grandes que se conocen, los Primos de Mersenne, no se sabe aún si hay una cantidad infinita de ellos, no se sabe si puede haber números perfectos impares y, además, son conocidos y estudiados desde la antigua Grecia.
Una vez que ya sabemos lo fundamental de estos números, vamos a demostrar la propiedad indicada en el tuit.
Sea [;n;]

un número perfecto y sean $[;d_1=1,\,d_2,\,\cdots,d_{p-1},\,d_p=n;]$ todos sus divisores (ordenados de menor a mayor. Como [; n;]

es perfecto, y con la notación establecida, se tiene que $[;d_1+d_2+\cdots+d_{p-1}=n;]$ . Además, es claro que $[;mcm(d_1,\cdots,d_p)=n;]$ .
A ahora un poquito de notación. Como cada [;d_i;]

es divisor de [;n;]

, resulta que debe existir un número [;p_i;]

tal que $[;d_i\cdot d'_i=n;]$ .
Es obvio, pues que el tal número [;d'_i;]

es uno de los divisores de [;n;]

. Y también es obvio que, en realidad, todos los [;d'_i;]

son, todos los divisores.
Para que lo veamos más claro. Como [;d_1=1;]

, se tiene que [;d'_1=n=d_p;]

.
Tomemos el segundo divisor (por orden de tamaño), [;d_2;]

; resulta que [;d'_2;]

es un divisor de [;n;]

, $[;d'_2\ne d_p;]$ y es el más grande de lo que quedan; así que $[;d'_2=d_{p-1};]$ .
Tomemos ahora el siguiente: [;d_3;]

. Es claro que [;d'_3;]

es un divisor de [;n;]

, que $[;d'_3\ne d_p,d_{p-1};]$ y que de los que quedan, es el más grande. Así que $[;d'_3=d_{p-2};]$ .
De esta forma, llegamos a que $[;d'_i=d_{p-i+1};]$ , ( $[;i=1,\dots,p;]$ ). O dicho de otra forma, los [;d'_i;]

es otra forma de nombrar a los divisores de [;n;]

(de mayor a menor, esta vez).
Vale. Pues ya estamos casi a punto de demostrar el tuit.
$[;\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}\cdots+\frac{1}{d_{p-1}}\frac{1}{d_p}=\frac{d'_1+d'_2+\cdots+d'_{p-1}+d'_p}{n}= \frac{d_p+d_{p-1}+\cdots+d_1}{n}=;]$
$[;=\frac{n+(d_{p-1}+\cdots+d_1)}{n}\overset{n\text{ es perfecto}}{=\!=\!=\!=\!=\!=}\frac{n+n}{n}=2;]$
Espero que os haya gustado. Yo estuve un ratito entretenido demostrándolo y por eso pensé en compartirlo.
Tito Eliatron Dixit
PD: Esta entrada participa en la Edición 5.9 Emma Castelnuovo del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit.
Si la estás viendo en otra web, probablemente estéás siendo víctima de un engaño.

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