Solución de… “cortando un tronco”

Recuerdo el enunciado del problema que se planteaba:

“Tenemos varios troncos como el de la imagen que se muestra a continuación.

Se quiere aprovechar para hacer leña para una chimenea. La idea es que de cada tronco obtengamos leña que nos valga para todo el mes, utilizando así un trozo del tronco cada día. Como son bastantes los troncos que tenemos que cortar, se quiere realizar el menor número de cortes posible.

¿Cuál es el número mínimo de cortes rectos necesarios para cortar cada tronco en 30 trozos iguales y sin cambiar de posición los trozos que se van obteniendo?

Nota para los y las más puristas (hipótesis de trabajo): El tronco no se nos desmorona a medida que lo vamos cortando, es decir, se mantiene en todo momento con su forma cilíndrica original.”

Vamos a ver la SOLUCIÓN.

Ahora podría poner una imagen directamente con la solución o simplemente escribirla, pero los que ya me conozcan (a mi blog y con ello algo a mí) sabrán que no es mi estilo. Poco sentido pedagógico tiene eso. Así que permitidme que haga la exposición como podría ir pensando una persona que afronta este problema desde cero y avanzando en las observaciones.

Lo primero es fijarnos bien en que hay una serie de consideraciones que se hacen en el enunciado y que condicionan la solución:

Los trozos obtenidos deben ser iguales (suponiendo, claro está, el tronco como un cilindro, concretamente un cilindro circular recto, porque hay más tipos de cilindros). ¿Qué implica esta condición? Pues que nuestra solución presentará simetrías.

Los cortes realizados deben ser rectos, es decir, no podemos ir modificando la trayectoria del corte según se va realizando, cosa que, por otra parte, no es fácil de hacer cuando se está cortando un tronco (según qué herramienta se utilice).

No podemos cambiar la posición de los trozos que se van obteniendo. Es decir, todos los cortes se realizan sobre el tronco original, y no podemos ir recolocando los trozos obtenidos en otras configuraciones para realizar después los siguientes cortes sobre ellos en esa nueva disposición (por ejemplo, alinearlos, apilarlos…).

Pues bien, como hemos dicho los cortes deben ser rectos y presentar cierta simetría. Teniendo en cuenta esto, podemos realizar dos tipos de cortes: longitudinales (perpendiculares a la base y que pasan por el eje del cilindro, por aquello de la simetría y de que los trozos obtenidos puedan ser iguales) y transversales (paralelos a la base del cilindro).

Veamos primero qué ocurre cuando realizamos sólamente cortes transversales.

Con 1 corte transversal, como se muestra en la figura, obtendríamos 2 trozos.

Con 2 cortes transversales conseguiríamos 3 trozos:

Con 3 cortes transversales se obtienen 4 trozos, con 4 cortes 5 trozos… y, en general, con n cortes transversales se consiguen n+1 trozos (un trozo más que los cortes transversales que hallamos realizado).

Según esto, si queremos obtener los 30 trozos que nos piden, deberíamos realizar 29 cortes transversales.

No parece muy productivo esto, así que vamos a ver qué pasa cuando realizamos sólamente cortes longitudinales. Recuerdo que se trata en nuestro caso de cortes perpendiculares a la base y que pasan por el eje del cilindro, porque cortes longitudinales también serían aquellos perpendiculares a la base y que no pasasen por el eje del cilindro, pero perderíamos la simetría que buscamos.

Con 1 corte longitudinal, como se observa en la figura, obtendríamos 2 trozos.

Con 2 cortes longitudinales conseguiríamos 4 trozos:

Con 3 cortes longitudinales obtenemos 6 trozos:

Con 4 cortes longitudinales se obtienen 8 trozos, con 5 cortes 10 trozos… y, en general, con m cortes longitudinales se consiguen 2m trozos (el doble de los cortes longitudinales que hallamos realizado).

En este caso, realizando únicamente cortes longitudinales, para obtener los 30 trozos que necesitamos, tendríamos que hacer 15 cortes longitudinales. Son bastantes menos que los necesarios realizando sólo cortes transversales pero, aun así, son demasiados.

¿Qué nos queda probar ahora? Lo que seguro muchos y muchas ya han pensado o tenían en mente desde el principio… combinar los dos tipos de cortes. Parece lo más lógico porque además, si no, poca “gracia” tendría este problema.

Al combinar cortes longitudinales con cortes transversales mejora considerablemente la cosa.

Si, por ejemplo, nos vamos al tronco en el que habíamos hechos 2 cortes longitudinales (4 trozos) y realizamos 1 corte transversal, el número de trozos resultantes se duplica, es decir, tenemos 8 trozos:

Y si realizamos un corte transversal más (2 cortes transversales en total), el número de trozos que teníamos sólo con los cortes longitudinales (4 trozos) se triplica, resultando así 12 trozos:

Con 3 cortes transversales hubiésemos multiplicado el número de trozos por 4, con 4 cortes transversales lo hubiésemos hecho por 5…

Es decir, el efecto de añadir cortes transversales a los que ya tengamos realizados longitudinales es multiplicador.

¡Ya casi lo tenemos!

Ahora es cuestión de que nos “cuadre” el número de trozos que nos salen con los 30 que queremos (ni uno más ni uno menos), y de que lo consigamos con el menor número de cortes posibles.

Para hacer esto tenemos dos opciones.

La primera es utilizar el clásico método de “ir probando”, más científicamente conocido como “ensayo-error”, es decir, ir probando distintas combinaciones de cortes y ver los trozos que nos salen y el número de cortes totales hechos, hasta que nos cuadre con los 30 que queremos, y después, entre todas las combinaciones válidas de cortes que hayamos obtenido (que nos den 30 trozos iguales) elegir la de menor número de cortes. Perfecto, lo único que de esta forma vamos a hacer más “pruebas” de las necesarias, obteniendo bastantes combinaciones de cortes que no den 30 trozos y, además, como querremos estar seguros de haber conseguido la mejor, probablemente hasta que no hallamos comprobado un buen rango de ellas no decidiremos haber terminado (por si acaso nos hemos “saltado alguna”).

Así que, permitidme que me decida por la segunda opción: utilizar las matemáticas para ir, como se suele decir, “directos al grano” y evitar todos esos intentos innecesarios. Como hemos visto que combinando cortes longitudinales con cortes transversales multiplicamos el número de trozos que teníamos con los primeros al realizar los segundos y, además con esa multiplicación queremos llegar a 30, una cosa que suele ser muy útil para este tipo de situaciones es sacar los divisores de 30, que son:

1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 y 30

y lo que realmente nos interesa a nosotros, que son los productos posibles entre dos de ellos que nos den 30:

1 x 30 (30 x 1)

2 x 15 (15 x 2)

3 x 10 (10 x 3)

5 x 6 (6 x 5)

Ya sólo se trata de conseguir esos números realizando cortes.

El primero: 1 x 30 (30 x 1), es justo lo que habíamos visto ya realizando bien sólo cortes transversales o bien sólo cortes longitudinales:

29 cortes transversales (30 trozos) + 0 cortes longitudinales (x 1) => 30 x 1 = 30 trozos y 29 cortes totales
15 cortes longitudinales (30 trozos) + 0 cortes transversales (x 1) => 30 x 1 = 30 trozos y 15 cortes totales

Veamos ahora cómo podemos obtener 2 x 15:

1 corte longitudinal (2 trozos) + 14 cortes transversales (x 15) => 2 x 15 = 30 trozos y 15 cortes totales

(aquí no tenemos la opción de obtener el 15 con cortes longitudinales, porque 15 es un número impar y, como vimos ya, el número de trozos que se obtienen con m cortes longitudinales es 2m, es decir, siempre un número par)

En el caso de 3 x 10 (10 x 3) serían:

5 cortes longitudinales (10 trozos) + 2 cortes transversales (x 3) => 10 x 3 = 30 trozos y 7 cortes totales

Y, por último, para conseguir el producto 5 x 6 (6 x 5), lo podemos hacer con:

3 cortes longitudinales (6 trozos) + 4 cortes transversales (x 5) = 30 trozos y 7 cortes totales

Pues como éstas son todas las combinaciones de cortes longitudinales y transversales que nos dan como resultado 30 trozos iguales, observando el número de cortes totales de cada una… ¡tenemos nuestra solución! Bueno, más bien tenemos nuestras soluciones, porque son dos:

5 cortes longitudinales + 2 cortes transversales (7 cortes en total)