Solución del problema del burro y las zanahorias

El problema que propuse decía así:

“Tenemos que transportar con un burro 900 zanahorias a un mercado, que está a 300 km de distancia de donde nos encontramos.

El burro puede transportar como máximo 300 zanahorias y, además, necesita comer una zanahoria por cada kilómetro que recorre. Si no lleva zanahorias para comer se detiene y no sigue caminando.

¿Cuál el el mayor número de zanahorias que conseguiremos transportar hasta el mercado?”

…

Si es la primera vez que lo ves o aun no habías intentado resolverlo, te invito a que lo hagas primero antes de seguir leyendo.

Si quieres que te cuente ya la solución, acompáñame en las líneas que siguen.

Veamos esa SOLUCIÓN…

Analicemos el problema.

Tenemos unas zanahorias en el punto de partida…

… bueno, alguna más…

… ¡tampoco tantas! Vamos a dejarlo en 900 zanahorias.

Tenemos también un burro que, como máximo, puede transportar de una vez 300 zanahorias (tan solo hay que verle la cara al pobre)…

y un mercado al que tenemos que conseguir que llegue el mayor número posible de ellas, y que está a una distancia del punto de partida de 300 km.

Nuestro burro necesita comerse una zanahoria por cada kilómetro que recorre, con lo cuál nos conviene que no haga más kilómetros de la cuenta, porque se comerá más zanahorias y nos quedarán menos para intentar llevarlas al mercado.

¿Cómo podemos evitar que haga kilómetros innecesarios? Pues haciendo los viajes, siempre que sea posible, con la mayor carga de zanahorias, es decir, con 300 zanahorias… en definitiva, aprovechando los viajes que hagamos al máximo.

Lo primero que se nos puede ocurrir es recorrer los 300 km de una vez cargados con 300 zanahorias. Pero al llegar al mercado el burro se habrá comido las 300 zanahorias (300 km recorridos = 300 zanahorias que se come el burro) y no le quedará ninguna para poder emprender el viaje de vuelta para ir a por el resto, quedándose 600 en el punto de partida, y no habremos conseguido llevar ninguna zanahoria al mercado.

Eso sí, los amigos de lo ajeno nos lo agradecerán…

De este primer intento nos queda clara una cosa: no podemos recorrer los 300 km de una sola vez, así que tendremos que dividir el trayecto en etapas y acopiar zanahorias en el camino para después volver a por ellas. Eso sí, escondiéndolas para que los “amigos de lo ajeno” no se las lleven en lo que tardamos en volver.

¿Y cómo de largas hacemos esas etapas?

Si no queremos volver a quedarnos parados sin poder seguir por falta de zanahorias, como máximo la etapa podrá ser de 150 km, pues cargado con 300 zanahorias, tendrá zanahorias suficientes para el viaje de vuelta.

Aunque ya os podéis imaginar lo que va a ocurrir, vamos a ver que pasaría con una primera etapa de 150 km…

Realizando los viajes cargado con 300 zanahorias, el burro necesitará dos viajes de ida y vuelta y uno más de ida (ya no tiene que volver al punto de partida a por más zanahorias). Es decir, realiza 5 viajes de 150 km, recorriendo en total 750 km, con lo que se come 750 zanahorias y consigue llevar al kilómetro 150 una cantidad de 150 zanahorias (las 900 iniciales menos las 750 que se come).
Ahora, con las 150 zanahorias que nos han quedado, en una segunda y última etapa de 150 km, llegamos al mercado… ¡sin zanahorias! (150 km recorridos = 150 zanahorias que se come el burro) … Al menos antes se aprovechaban de la situación nuestros amigos de lo ajeno, y el burro nos diría algo así como: “si hay que ir se va, pero ir pá ná es tontería”.
Bueno. Está bastante claro que las etapas en las que tengamos que hacer algún viaje de ida y vuelta deben ser de menos de 150 km, porque de lo contrario no estamos consiguiendo nada.

Pues bien, no se trata de ir probando así sin más con distintas distancias, se nos puede hacer eterno y además no sabríamos bien cuando acabar. Vamos a pensar un poco, que para eso tenemos la cabeza (a parte de para llevar gorras y sombreros).

Recordad que había dicho que nos interesa hacer los viajes con la carga máxima de 300 zanahorias, para evitar hacer kilómetros innecesarios. Pues vamos a ver cómo podemos conseguir esto.

Como ya hemos visto antes, al tener 900 zanahorias en el punto de partida y poder llevar 300 en cada viaje, sea cual sea la longitud de la primera etapa, el burro tiene que hacer 5 viajes en total en dicha etapa (3 de ida y 2 de vuelta).

Así que nos interesa que, después de los 5 viajes de la primera etapa, queden o bien 300 o bien 600 zanahorias, porque así en la segunda etapa podremos realizar los correspondientes viajes con la carga máxima.

Para que después de la primera etapa nos queden 300 zanahorias, es decir, el burro se coma 600 zanahorias, tiene que haber recorrido 600 km entre los 5 viajes, con lo que la longitud de la primera etapa será de 120 km (resultado de dividir 600 km entre 5 viajes).

Análogamente, para que después de la primera etapa nos queden 600 zanahorias, es decir, el burro se coma 300 zanahorias, tiene que haber recorrido 300 km entre los 5 viajes, siendo en este caso la longitud de la primera etapa de 60 km (resultado de dividir 300 km entre 5 viajes).

Se puede intuir ya, viendo lo que nos ha pasado antes, cuál de las dos opciones es mejor, no obstante, como me gusta hacer siempre, vamos a verlas las dos.

Si la primera etapa es de 120 km…

El burro realiza 5 viajes de 120 km, recorriendo en total 600 km, con lo que se come 600 zanahorias y consigue llevar al kilómetro 120 una cantidad de 300 zanahorias (las 900 iniciales menos las 600 que se come)…

… y en una segunda etapa de 180 km, cargado con las 300 zanahorias, llega al mercado con 120 zanahorias (las 300 que tenía después de la primera etapa menos las 180 zanahorias que se ha comido en esos 180 km).

No está mal, pero vamos a ver la otra opción que decíamos (ya os podéis imaginar que ésta es mejor que la anterior).

Si la primera etapa es de 60 km…

Nuestro burro hace 5 viajes de 60 km, recorriendo en total 300 km, comiéndose por tanto 300 zanahorias y consiguiendo llevar al kilómetro 60 un total de 600 zanahorias (las 900 iniciales menos las 300 que se come)…

Después de esta primera etapa, se encuentra como hemos visto en el kilómetro 60 con 600 zanahorias, y aun hay una distancia de 240 km hasta el mercado.

Como son 600 zanahorias, va a necesitar más de un viaje para transportarlas y, además, al haber una distancia al mercado mayor de 150 metros, son necesarias al menos dos etapas más.

¿De qué longitud hacemos la segunda etapa?

Pues según lo que ya hemos visto, nos interesa que al terminar dicha etapa queden 300 zanahorias, para así en una última etapa hacer el viaje con la carga máxima posible.

En este caso, ya no hay que hacer 5 viajes (3 de ida y 2 de vuelta) como ocurría en la primera etapa donde teníamos 900 zanahorias, sino que al tener 600 zanahorias que transportar nos es suficiente con 3 viajes (2 de ida y 1 de vuelta).

Por tanto, para que después de la segunda etapa nos queden 300 zanahorias, es decir, el burro se coma 300 zanahorias, tiene que haber recorrido 300 km entre los 3 viajes, con lo que la longitud de la segunda etapa será de 100 km (resultado de dividir 300 km entre 3 viajes).

Se llega así al kilómetro 160 con 300 zanahorias, que sí podemos cargar en un solo viaje en una última etapa de 140 km. Como en esos 140 km el burro se come 140 zanahorias, consigue llegar al mercado con… 160 zanahorias (las 300 del final de la segunda etapa menos las 140 que se come ahora).

Luego, esta es la respuesta a la pregunta que se nos hacía: el mayor número de zanahorias que conseguimos transportar hasta el mercado es 160.

Si lo pensáis, como ya comenté antes cuando planteaba las opciones de hacer una primera etapa de 120 km o de 60 km, se podía haber intuido que ésta última era la mejor solución pues, como inicialmente tenemos un mayor número de zanahorias que transportar, necesitamos hacer más viajes (de ida y vuelta) y la distancia a recorrer interesa que sea menor (el burro hace menos kilómetros en total y se come menos zanahorias). A medida que van quedando menos zanahorias para transportar y, por tanto, menos viajes de ida y vuelta que hacer, las etapas pueden ir siendo más largas porque nos afecta ya menos.

Pues eso es todo. Espero que os haya gustado.