¿Son los números pares realmente la mitad de los números naturales?

Imagen extraída de aquí.

Si hacemos una lista con los primeros 100 números naturales (empezando por el 1, claro), nos damos cuenta que el 50 son pares y otros 50 son impares. Más aún, si nos quedamos con la lista de los

primeros números naturales, exactamente

de ellos serán pares y los otros

impares. Así que no parece muy descabellado pensar que, si tomamos el conjunto de todos los números naturales, la mitad de ellos serán pares y la otra mitad impares.
Y sin embargo, es muy sencillo establecer una biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los números pares (por ejemplo,

$[;n\mapsto2n;]$

): el cardinal de ambos conjuntos es el mismo. Vamos, que hay la misma cantidad de números pares que de naturales (esta argumentación es la misma que la que se utiliza en la conocida paradoja del Hotel infinito de Hilbert). ¡Vaya! ya tenemos otra de esas cosas raras provocadas por el infinito.
Entonces, ¿en qué quedamos? ¿son los pares la mitad de los naturales o hay exactamente los mismos? Bueno, en esta entrada vamos a ver en qué sentido sí se puede decir que los números pares son la mitad de los naturales.
Para poder responder a esta cuestión es necesario que definir, de forma rigurosa, cómo vamos a entender eso de la mitad de los pares. Y la respuesta está (casi) en el primer párrafo de esta entrada.
Supongamos que tenemos dos conjuntos finitos tales que

$[;A\subset B;]$

y queremos saber qué porcentaje de elementos de

son parte de

. Es fácil, contamos los elementos que hay en

, por ejemplo

y lo dividimos entre el número de elementos que hay en

, por ejemplo

. Así el porcentaje será

, o, en promedio, directamente

.
Si ahora tomamos como

el conjunto de los naturales y tomamos un subconjunto

suyo, es decir,

$[;A\subset\mathbb{N};]$

, la cosa varía un poco. El primer problema que nos encontramos es que, ahora, hay infinitos números naturales, pero bueno, si en

sigue habiendo una cantidad finita de elementos, resulta que el promedio de elementos de

$[;\mathbb{N};]$

$[;a/\infty=0;]$

. Vale, parece lógico, una cantidad finito (por muy grande que sea) frente a infinito... es despreciable. Pero... ¿y si en

también hay infinitos elementos? En tal caso el promedio sería

$[;\infty/\infty;]$

y nos encontramos con una indeterminación. Y aquí no hay L'Hôpital que valga.
La solución al problema del infinito es truncar en una cantidad finita de números naturales, trabajar con cantidades finitas y, finalmente, tomar límites cuando esa cantidad finita tiende a

$[;\infty;]$

. Uf! qué lío, vayamos por partes.
En primer lugar, vamos a truncar en una cantidad finita y, en vez de contar cuántos elementos de

hay en todos los naturales, vamos a quedarnos con el conjunto

$[;\[[1,n]];=\{1,2,\dots,n\};]$

de los

primeros números naturales. Así que vamos a calcular el promedio de elementos de

que hay en

. Para ello, basta con contar cuántos elementos de

hay en

, y dividirlo entre el número de elementos que hay en

$[;\frac{|A\cap[[1,n]]|}{n};]$

Y ahora, basta con hacer que

$[;n\to\infty;]$

.
Fácil, ¿verdad? Pues no, señores. En general, no se puede tomar límite; lo que sí podemos tomar siempre es límite inferior y límite superior. DE esta manera podemos definir los siguientes conceptos.:
Se llama densidad inferior de

respecto de

$[;\mathbb{N};]$

al número

$[;\underline{d}(A)=\liminf_{n\to\infty} |A\cap[[1,n]]|/n;]$

.
Se llama densidad superior de

respecto de

$[;\mathbb{N};]$

al número

$[;\overline{d}(A)=\limsup_{n\to\infty} |A\cap[[1,n]]|/n;]$

Se llama densidad de

respecto de

$[;\mathbb{N};]$

al número

$[;d(A)=\lim |A\cap[[1,n]]|/n;]$

, cuando tal límite exista (y en tal caso, se cumple que

$[;\underline{d}(A)=d(A)=\overline{d}(A);]$

).
Bien, pues ya tenemos la herramienta necesaria.Ahora aya sólo basta calcular la densidad (superior o inferior) para el caso en que [;A=\mathbb{P};] el conjunto de los pares.
Llamemos

$[;p_n:=|\mathbb{P}\cap[[1,n]]|/n;]$

. Vamos a encontrar la expresión concreta.
Está claro, por lo que dijimos en el primer párrafo de esta entrada, que

$[;p_{2n}=n/2n=1/2;]$

; pero po otro lado,

$[;p_{2n+1}=n/(2n+1);]$

. En cualquier caso, se tiene que

$[;p_n\to 1/2;]$

por lo que

$[;d(\mathbb{P})=1/2;]$

, es decir, la densidad de los pares dentro de los naturales es 1/2. O dicho de otro modo, los números pares son la mitad de los números naturales. Con los impares, pasa exactamente lo mismo.
De la misma forma, se puede comprobar que la densidad del conjunto de los múltiplos de 3 es 1/3, la de los múltiplos de 4, 1/4 o que la densidad de los números que son un múltiplo de 5 más 3 es 1/5. Y en general, la densidad del conjunto de números que son iguales a

(mod

) es, exactamente,

.
Pero... ¿y qué me dices del conjunto de números primos, por ejemplo? Pues para ello, basta acudir al Teorema de los Números Primos que dice que si llamamos

$[;\pi(n);]$

al número de primos menores o iguales que

, se tiene que

$[;\pi(n)\sim n/\log(n);]$

, es decir,

$[;\lim\pi(n)/(n/\log(n))=1;]$

. Claro, si

$[;{\cal P};]$

es el conjunto de los números primos, se tiene que

$[;\pi(n)=|{\cal P}\cap[[1,n]];]$

, por lo que

$[;d({\cal P})=\lim_{n\to\infty}\frac{|{\cal P}\cap[[1,n]]|}{n}= \lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{n}= ;]$

$[;=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{n}\cdot\frac{1/\log(n)}{1/\log(n)}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\pi(n)}{n/\log(n)} \cdot \frac{1}{\log(n)}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log(n)}=0,;]$

y se concluye que la densidad de los números primos en los naturales es 0. Vamos, otra forma de reafirmar que los números primos, aunque infinitos, escasean dentro de los naturales.
Y para terminar... ¿todos los subconjuntos de los naturales tienen densidad? o mejor dicho ¿para qué narices has definido la densidad inferior y superior?. Bueno, pues os dejo un ejemplo (los detalles los podéis consultar en la wikipedia) para el que no existe la densidad total, es decir, en el que la densidad superior e inferior no coinciden. El conjunto es:

$[;A=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{2^{2n},2^{2n}+1,\dots,2^{2n+1}-1\};]$

y se cumple que

$[;\underline{d}(A)=1/3;]$

$[;\overline{d}(A)=2/3;]$

.
Resumiendo, si a partir de ahora dices que los números pares son la mitad de los impares, ya sabes en qué sentido lo estás diciendo.
Tito Eliatron Dixit
PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia.
Bonus Track para interesados:
Es fácil comprobar, con las definiciones dadas, que se cumple

$[;\overline{d}(A)=\underline{d}(\mathbb{N}\setminus A);]$

y que

$[;0\le \underline{d}(A)\le \underline{d}(A)\le 1;]$

.
Además, gracias a StackExchange Mathematics he comprobado que es posible construir un conjunto

$[;A\subset\mathbb{N};]$

tal que

$[;\underline{d}(A)=0;]$

$[;\overline{d}(A)=1;]$

, por lo tanto, es posible dividir

$[;\mathbb{N};]$

en dos conjuntos disjuntos (y cuya unión sea el total de los naturales) cada uno de ellos con densidad inferior nula.
Vamos, que tendríamos una especie de Paradoja de la densidad inferior: 2 conjuntos que son, por así decirlo, escasos en

$[;\mathbb{N};]$

, se unen y forman la totalidad de

$[;\mathbb{N};]$

.
A mí, particularmente, es algo que, en el fondo, no me sorprende, pero eso sí, prácticamente me cierra la puerta a tratar de conseguir un resultado de investigación tras el cual andaba.

Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit.
Si la estás viendo en otra web, probablemente estéás siendo víctima de un engaño.

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