Sopa de letras: Más allá del modelo SIR

En entradas anteriores hemos hablado del modelo SIR y de su exitosa trayectoria desde sus orígenes. Por eso, no es de extrañar que un siglo después siga siendo el modelo de referencia en Epidemiología Matemática. No obstante, siguiendo la máxima pragmática, un modelo es tan bueno como su capacidad para ser útil. En este sentido, algunas objeciones al modelo SIR han impulsado el desarrollo de variantes que describiremos en este artículo y aproximaciones alternativas, como las variantes estocásticas o los modelos en “red” (epidemic networks) que reservamos para futuras entradas en este blog.

Imagen por microscopio electrónico del SARS-CoV-2 (en naranja). Fuente: National Institute of Allergy and Infectious Diseases

La Biología no actúa de manera instantánea: el modelo SEIR

La primera objeción más frecuente es que el término de la derecha de la ecuación para la evolución de los susceptibles

implica indirectamente que un infectado se vuelve infeccioso instantáneamente. Evidentemente, el virus infecta progresivamente al sujeto, aunque los síntomas sólo se aprecian unos días después de la infección. Como discutimos en El aspecto del enemigo, uno de los desafíos del SARS-CoV-2 es el tiempo en el que un infectado es asintomático, pero puede infectar a otros susceptibles. El modelo SEIR incluye un estado intermedio, E (abreviatura de “Expuestos”), que trata de simular ese periodo de latencia. No siempre los individuos etiquetados en el estado E transmiten la enfermedad; por ejemplo, en el caso de la tuberculosis, se refiere a un estado anterior a la infección activa y durante el cual los bacilos – de la especie Mycobacterium tuberculosis – están en fase latente, de manera que el individuo está infectado pero no puede transmitir la tuberculosis a otros, pero porta bacilos latentes en su organismo que, tarde o temprano, progresarán hacia una infección activa.

Figura 1: Esquema del modelo SEIR. El estado E representa a los sujetos “expuestos” a la infección pero que aún no presentan síntomas.

Este modelo introduce mucha flexibilidad al incorporar dos nuevos parámetros, el tiempo de latencia, t_L, y la probabilidad de que un sujeto asintomático sea infeccioso, e. Es el más utilizado estos días para hacer predicciones cuantitativas de la epidemia de coronavirus, algunas destacadas en prensa, como aquellas de los grupos de Imperial College, Oxford, o las iniciativas colectivas CEMAT o Healthdata.

Si recuerdan de nuestras entradas anteriores, definimos el ritmo (o factor) reproductivo básico, R₀, como el número medio de contagios propagados por cada persona contagiada. Para el modelo SIR este parámetro tomaba el valor

Bajo la luz del modelo SEIR, este parámetro toma la forma

Es decir, el modelo SIR subestima R₀. Eso son malas noticias, aunque tiene bastante sentido: los sujetos asintomáticos siguen propagando la infección, aunque no sean conscientes de ello, con probabilidad e, y su impacto aumenta con el tiempo medio de latencia, t_L.

¿Es el confinamiento o la vacunación la solución a nuestros problemas?

La siguiente pregunta que podemos hacernos concierne la eficacia (a nivel epidemiológico, no a nivel biológico) de vacunar a la población. Esto se puede hacer antes del brote de la epidemia, en cuyo caso, nuestro modelo sería idéntico a un modelo SIR o SEIR, salvo por el hecho de que la población susceptible sería sólo una fracción de la población total; es decir, es necesario incorporar un nuevo estado V para aquellos individuos sobre los que la vacuna induce algún grado de protección. Otra interpretación de este tipo de intervención es el confinamiento que estamos sufriendo estos días. En este escenario, los pacientes diagnosticados son hospitalizados y aislados para evitar que contagien a otros susceptibles. En tal caso, el modelo suele denominarse SITR (Figura 2).

Figura 2: Esquema del modelo SITR. Una fracción de los pacientes infectados es “tratada” (es decir, tratados clínicamente, aislados, vacunados) o confinada de tal manera que se evita que una proporción de infectados infecte a otros pacientes.

El estado T también puede entenderse como un modelo con cuarentena (Q, del inglés quarantine) en el que los pacientes infectados diagnosticados son aislados. Este modelo también es muy versátil porque se pueden contemplar situaciones en las que después del aislamiento y durante un tiempo t_A,  una fracción δ sigue siendo infecciosa. En este caso, R₀ tomaría el valor

donde γ es inversamente proporcional al tiempo medio que se tarda en detectar a un nuevo infectado y ponerle en aislamiento. De nuevo, el modelo arroja mucha información sobre la importancia de realizar tests a la población (a través del parámetro γ) y de ser cautelosos con las altas hospitalarias hasta garantizar que los pacientes no son infecciosos (a través de t_A).

Durante la epidemia del SARS-CoV-1 (el predecesor del Covid-19), algunos grupos utilizaron un modelo generalizado de éste (¡que casi contiene todas las letras del alfabeto!) llamado SEQIJR (Figura 3), que permite distinguir entre estar en cuarentena (Q) y estar aislado (J).

Figura 3: El modelo SEQIJR, un modelo con expuestos (E), pacientes en cuarentena (Q) y aislados (J).

No obstante, como dice el saber popular, a veces menos es más y los modelos complejos (con muchas letras en su nombre) traen consigo una significativa incertidumbre en sus parámetros que puede limitar su utilidad predictiva, por lo que no siempre son “mejores” desde un punto de vista práctico.

¿Qué pasa si no se desarrolla inmunidad perfecta?

Nuestra última sopa de letras trata de responder a una pregunta que está en el aire estos días: ¿qué pasará si después de haber estado infectado, se puede recaer de nuevo?

Para responder a esta pregunta, se ha estudiado una familia de modelos conocidos genéricamente como modelos “endémicos”, todos ellos variantes del modelo SIRS.

Figura 4: Modelo SIRS. Los recuperados pueden perder la inmunidad y volver a ser susceptible perpetuando los ciclos de epidemia/control. La gripe estacional es un ejemplo de infección “endémica”.

En este caso, existe un equilibrio “endémico” en el que siempre habrá una fracción de la población infectada que puede dar lugar a ciclos de epidemia que se perpetúan periódicamente. La gripe estacional es un ejemplo de enfermedad endémica que, gracias a la vacunación masiva de sujetos susceptibles de alto riesgo, se mantiene bajo cierto control. Desgraciadamente, la gripe se cobra una factura de miles de fallecidos en España todos los años – y cerca del medio millón en todo el mundo –, por lo que no debemos minimizar el impacto de esta enfermedad tan común y generalizada.

Todos estos modelos comparten un aspecto común: todos predicen un crecimiento exponencial y un aplanamiento de la curva. No obstante, no dejan de ser modelos simplificados y pequeños cambios en la estimación de los parámetros, o una mala calidad de los datos hace muy complicado predecir el resultado final de la epidemia. No obstante, esperamos haber convencido al lector de la utilidad y versatilidad de las matemáticas para entender las epidemias y los mecanismos de intervención más eficaces.  También confiamos en que, cuando las circunstancias lo permitan, el lector pueda impresionar a amigos y parientes con esta fascinante sopa de letras que les hemos traído hoy.

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Mario Castro Ponce (Universidad Pontificia Comillas), Manuel de León (Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC, Real Academia de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid)