Termodinámica de los agujeros negros

Terminaba el anterior post con estas palabras “la radiación de Hawking significa que el agujero negro pierde masa y se hace cada vez más pequeño, se evapora y desaparece del universo”. Hay que aclarar que desaparece como agujero negro, pero su masa se ha convertido en energía de radiación que va a parar al Universo, no se viola la conservación de la energía. Ahora nos podemos preguntar: Cuanto dura un agujero negro? Es peligrosa la radiación de Hawking?

 No olvidemos que la radiación de Hawking es un fenómeno puramente cuántico. El primero en entender que la mecánica cuántica añadía algo nuevo a los agujeros negros fue Jacob Bekenstein en 1972, entonces estudiante en Princeton. Supuso que si los agujeros negros (AN) engullen la materia y la radiación de su entorno, la entropía del universo visible disminuiría. Violando el segundo principio de la termodinámica, que dice:

“En todo proceso que tenga lugar en un sistema aislado, la entropía del sistema crece o permanece constante.”

Un observador exterior al agujero negro no puede comprobar que la entropía total de todo el universo ha aumentado en este proceso, ya que el interior del agujero negro no le es accesible. Así pues, los agujeros negros se convierten en sumideros de entropía, en contra del segundo principio de la termodinámica. Que está fallando en este argumento? Falla el segundo principio? Falla la nueva teoría sobre agujeros negros?. Bekenstein supuso que el segundo principio de la termodinámica no podía fallar, es uno de los principios más fundamentales de la física. El propio Einstein, que no creía en los agujeros negros, decía textualmente sobre la termodinámica:

 “La Termodinámica es la única teoría de contenido universal, sobre la que estoy convencido de que, dentro del marco de aplicabilidad de los conceptos básicos, jamás será depuesta”

  Así pues, la única manera de mantener vigente la segunda ley de la termodinámica es considerar que los AN tienen entropía y aumenta a medida que van absorbiendo la energía y la materia de su alrededor. Bekenstein supuso que a medida que el agujero negro traga materia y radiación su área superficial tiene que aumentar. Es imaginable suponer que este aumento de área está relacionado con el aumento de entropía. Además la variación de entropía (∂S) está relacionada con la temperatura T según la siguiente ecuación,

 Esto significa que si existe una variación de la entropía, tiene que existir una Temperatura. Si la variación de entropía es cero, entonces la Temperatura es infinita. A la inversa, si la Temperatura es cero, la variación de entropía seria infinita. La única manera de salvar estas contradicciones es suponer que el AN tiene una determinada Temperatura que se corresponde con una determinada entropía S. Es decir, un agujero negro no es absolutamente negro, emite radiación a una determinada Temperatura, denominada Temperatura del cuerpo negro, que nada tiene que ver el nombre con el de agujero negro. Este es el resultado que obtuvo Stephen Hawking en enero de 1974 (al final del articulo encontrara las definiciones y valores de las constantes) juntando a la mecánica cuántica con la relatividad general para obtener la Temperatura i la Entropía de un AN,

Siendo χ la gravedad superficial sobre cada punto del horizonte de un agujero negro y A el área superficial del agujero negro. Para un AN de Schwarschild la gravedad superficial adquiere el siguiente valor

No es nada extraordinario, aplicado a la Tierra es el valor de la aceleración de la gravedad Terrestre. Lo que sí es extraordinario es que la temperatura está asociada a una aceleración… o no. Un ejemplo lo tenemos en los meteoritos y asteroides que continuamente penetran en nuestra atmósfera. Al chocar con las partículas del aire el asteroide se ve frenado, aparece una aceleración (negativa en este caso) que le obliga a perder energía cinética que se transforma en energía calorífica, el asteroide se inflama y se consume o explota antes de caer al suelo. Observamos que Temperatura y partículas están relacionadas en nuestro mundo macroscópico.

 El descubrimiento de Hawking es sobre las propiedades cuánticas relacionadas con la gravedad, la nueva teoría de la gravitación cuántica. Es aquí en donde radica la importancia del estudio de los agujeros negros, nos ofrecen un escenario teórico para estudiar la gravedad cuántica. Esta nueva teoría nos dice que el concepto de partícula no tiene un significado universal, sino que depende del observador. Un detector de partículas que se mueve a velocidad constante en el vacío no detectara ninguna partícula. Por el contrario, si el detector se mueve con aceleración constante en el mismo vació detectara un flujo de partículas correspondientes a la radiación térmica a la temperatura

O lo que es lo mismo, un termómetro  acelerado uniformemente en el vacío marcará la temperatura dada en la ecuación anterior. Más aún, Leonard Parker en 1969 supuso que la expansión cósmica conducía a la creación de partículas.

 Calculamos ahora la Temperatura de una agujero negro tipo Schwarzschild, teniendo en cuenta, como vimos en el post anterior que su radio vale 

 Así la Temperatura de una agujero negro tipo Schwarzschild será

 

 Para visualizar mejor esta ecuación se acostumbra a colocar en función de la relación entre la Masa Solar (MS) y la Masa del agujero negro (M_an)

 Un agujero negro con la masa del Sol emitirá radiación a una temperatura de unos 6 x 10^-8 K, aproximadamente diez millonésimas por encima del cero absoluto ( O K o -273 C), menos que la radiación de fondo de microondas que es de 2,7 K . En cambio el Sol emite radiación a una temperatura de 5780 K. La emisión de radiación de un agujero negro en este caso es casi nula, no es en absoluto peligrosa. Observamos un efecto curioso, la Temperatura depende inversamente de la Masa del agujero negro, cuanto más masivo es el agujero negro menos radiación emite. Esto concuerda con lo que ya les he dicho que la radiación de Hawking es un fenómeno cuántico y por tanto se acentúa cuanto menor es el agujero negro y por tanto cuanto menor es su masa. Esta dependencia de la temperatura con la masa conduce a la evaporación del agujero negro de la siguiente manera.

 Al emitir radiación, pierde energía y por tanto masa, al disminuir la masa aumenta la temperatura y por tanto emite mayor radiación. Esto hace que la velocidad de disminución de la masa aumente, pierde masa con mayor rapidez y aumenta su temperatura a mayor velocidad, aumentado la emisión de radiación. Esta cadena de acontecimientos hace que el agujero negro sea cada vez más pequeño, emita radiación cada vez más deprisa hasta que desaparece completamente y en el peor de los casos en una tremenda explosión de radiación equivalente a la explosión de millones de bombas atómicas. Encontrarse cerca de un AN en estas condiciones es muy peligroso. Sucede muchas veces? O lo que es lo mismo, Cuanto dura la vida de un agujero negro?.

 Está claro que uno de los efectos de la radiación de Hawking es que un AN no es inmortal, tiene una vida finita ya que pierde masa constantemente. Teniendo en cuenta que la radiación de Hawking es una radiación de cuerpo negro (que repito, el nombre no tiene nada que ver con el de agujero negro) se cumplirá la ley de Stefan-Boltzmann para la luminosidad del AN, esto es, la Luminosidad será proporcional a la cuarta potencia de la Temperatura y al área Aan.

 

 La vida de un AN de forma elemental puede describirse como la relación entre su Masa y la Luminosidad, que es la masa que pierde. Los detalles reales son muy complicados para este post, pero podemos hacer un cálculo sobre las relaciones entre variables. La luminosidad depende de la cuarta potencia de la Temperatura y esta depende inversamente proporcional a la Masa. El área depende a la segunda potencia del Radio y el Radio es proporcional a la Masa, entonces el área Aan depende de la segunda potencia de la Masa. Así pues,  la relación entre la Masa del AN y su Luminosidad depende de la tercera potencia de la Masa del AN,

 

 Esto significa que la vida de un AN depende de la tercera potencia de su Masa. A mayor masa más longevo. Hay que decir que lo que presento aquí es un cálculo cualitativo, cálculos más exactos nos dicen lo siguiente:

Para AN de Masa superior a los 10¹⁷ g se encuentra

 

 Y para una Masa entre 10¹⁴ y 10¹⁷ g seria

 

 Esto significa que un AN con una masa igual a la Solar,  como ejemplo de los que se forman por colapso estelar, tendrían una vida media de 10⁶⁶ años, mucho más que la edad actual del Universo de unos 10¹⁰ años.  En cambio para AN con una masa de 10¹⁵ g que se podían haber formado por fluctuaciones cuánticas en el origen del Big Bang tendrían una vida media de unos 10¹¹ años, estarían por tanto ahora en la última etapa de su vida. Agujeros negros con masas inferiores estarían ahora explotando y emitiendo radiación en forma de rayos X y Gamma…que no se ha detectado, por estar muy lejos, porque nuestra tecnología en telescopios es aún muy precaria o porque no existen.

 El destino final de un agujero negro nos es desconocido. A medida que el AN pierde masa se acercará a la masa de Planck Mp

 En cuyo momento el radio del AN será del orden de la longitud de Planck Lp

 

 Que es una distancia 10²⁰ veces más pequeña que el tamaño de un protón. En esta escala los efectos de la gravedad cuántica tienen que aparecer, pero son desconocidos, no existe aun la teoría que unifique a la relatividad general con la gravitación.

 Para terminar, existe la posibilidad de que el LHC genere este último tipo de miniagujeros negros? Y se evaporen rápidamente generando una inmensa radiación de Hawking fulminando a la Tierra…la respuesta es NO. Calculemos:

 Para generar una mini agujero negro de la masa de Planck es necesario generar la energía correspondiente a esta masa, esto es en potencias,

 

 Unos 1000.000.000 Julios.

 El LHC puede genera una energía de aproximadamente 10TeV (Tera electronVolt), esto es 10.000.000.000.000 electronVolts. Cuidado no se confundan, la energía necesaria para generar la masa de Planck es de 10⁹ Julios y la energía máxima que puede generar el LHC es de 10¹³ electronVolts, no es lo mismo. Hay que pasar los eV a Julios. Cuanto es un eV en Julios? Pues aquí lo tienen: 1 eV = 1,6×10^-19 J. Esto significa que 10 TeV son, en potencias de 10 solamente,

 

 Para llegar a los 10⁹ J faltan mil billones de Julios. Es decir, el LHC no puede generar miniagujeros negros del tamaño de Plack. Podria crear agujeros negros si existieran dimensiones extras, pero incluso en este caso la radiación de Hawking correspondiente generaría todo tipo de partículas elementales, al igual que los rayos cósmicos hacen todos los días en la atmósfera y no ocurre nada.

 Notaciones y Constantes

 Primero recordar que la notación inglesa para billion y trillion es diferente para nosotros. 1 billion son 10⁹, lo que nosotros decimos mil millones. 1 trillion son 10¹² lo que para nosotros es un billón.

Velocidad de la luz, c = 3×10⁸ ms^-1
Constante Gravitación, G= 6,67×10^-11 Nm²kg^-1
Constante de Planck, h(barra)=1,05×10^-34 Js
Constante de Boltzamann, k_B =1,4×10^-23 JK^-1
Masa Solar, M_S =1,99×10³⁰ kg