Triseccion del angulo con regla y compas

         La trisección del ángulo con regla y compas se ejecuta siempre sobre el ángulo menor en todo y cada uno de los triángulos isósceles; rectángulos; equiláteros. Con la excepción del ángulo de 90º.

La trisección del ángulo con sus tres métodos.

1º - Método para multiplicar ángulos con regla y compás.

2º- . Fraccionar cualquier segmento en tres partes con regla y compás

3º - trisección de todo ángulo menor ó igual a 90º con regla y compás.

                                   METODO PARA MULTIPLICAR ANGULOS

Múltiplos de tres:

 Dado el triángulo rectángulo (abc) fig 1 lo multiplicamos por tres y tendremos  el triángulo (amb1 ) cuyo ángulo es tres veces el ángulo alfa del triángulo

1º- Trazamos dos arcos de radios la longitud de los lados (a) y (c) respectivamente Fig 1; a continuación con el compás cogemos la magnitud del lado (b) y desde el extremo del lado (a) lo proyectamos en el arco de radio (c), desde este punto trazamos con la regla dos líneas una al vértice (0) y la otra al extremo del lado (a). Teniendo por resultado el triángulo rectángulo  (abc).

2º-   desde la intersección del arco (c),  con el compás llevamos la longitud de (b) a insertar en el arco (a) (punto n) y desde el punto (n) insertamos la misma longitud de (b) en el arco de (c) (punto m); por último desde (m) con la regla trazamos una recta al vértice (0) y a su vez la prolongamos hasta el arco de (a ) formando el triángulo isósceles (amb1) con uno de sus ángulos tres veces el ángulo del triángulo rectángulo (abc).

Una vez hecho la multiplicación del ángulo cabe pensar: Si aplicamos este método a la inversa tendremos la trisección del ángulo.

Antes de pasar a ello; indicamos el segundo  método:

FRACCIONAR UN SEGMENTO EN TRES PARTES  Fig 2

1º- Construimos un cuadrado que tenga por lado el valor del segmento dado.2º- Trazamos sus dos diagonales.3º- Desde el punto medio del lado (a) llevamos dos líneas a los dos vértices opuestos al lado. De tal manera que los  puntos de intersección (ee1) de estas dos líneas con las dos diagonales tienen por  magnitud entre ellos el valor de  (a/3).Prueba 
a/2 - x = n
(a - 2x)/2 = n
por lo tanto
a - 2x = 2n
a = 2x + 2n
ello implica que si n = x/2 entonces
a = 2x + 2x/2
a = (4x + 2x)/2 = 3x
Queda probado  x = a / 3.
Terminado el proceso de la multiplicación de ángulos  y la fracción del segmento en tres partes pasaremos a  LA TRISECCION DEL ANGULO  Fig 3. 

1º - Fraccionar en tres partes el lado opuesto al ángulo menor de dicho triángulo (preferiblemente isósceles), en este caso tenemos el triángulo (ac_{1}b_{1}) y el punto (n) donde (n = c_{1}/3).2º- Con el compás trazamos un semicírculo en el lado (a) de radio (a/2).3º- De nuevo con el compás desde el vértice (0) llevamos la magnitud de (n) al semicírculo de radio (a/2).4º - Trazamos una perpendicular al lado (a) desde el punto de intersección de (n) con el semicírculo (a/2) y tendremos el punto (k).5º Desde el punto (k) trazamos otro semicírculo de radio (n) y tendremos como resultado el punto de intersección de los dos semicírculos de radio (n). A continuación con el compás, desde el vértice (m) cogemos la magnitud que hay entre (m) y el punto de intersección de los dos semicírculos y trazamos su arco.Con la regla unimos el punto (n) con el vértice de (0) y con el vértice (m) formando el triángulo rectángulo (a, n0, nm) cuyo ángulo menor es la tercera parte del ángulo (a).  Ahora procede probar con la regla y compás que el ángulo menor del triángulo rectángulo (a; n0;nm) es la tercera parte del ángulo (a). Para ello aplicamos el método de multiplicar ángulos  en la misma Fig 3.
Con el triángulo rectángulo definido en fig 3 y dentro del triangulo dado (ac_{1}b_{1}) aplicamos el método de la multiplicación de ángulos.1-  Con el compás trazamos desde el vértice (m) dos arcos de radios (a) y (nm).2- Desde el punto (n) llevamos la magnitud de (0n) sobre el arco de radio (a) punto r y, desde (r) llevamos la magnitud (on) al arco de radio (nm). 3- Con la regla trazamos una línea desde (0n) a (r) y de (r) al vértice (m) formando el segundo triángulo rectángulo. El tercer triángulo se obtiene  al trazar una línea de longitud (0n) desde (r) a  la intersección del arco (nm) con el lado (b1). Queda probado de forma absoluta: Tres veces el ángulo del triángulo rectángulo(a; 0n; nm) es el ángulo del triángulo (ac_{1}b_{1}). 
El coseno en toda trisección de ángulo menor ó igual a 90º es:
Cos(⋉) = [(a^{2} + b^{2}) - [3(c/3)]^{2}] / 2ab; con b = a
y   Cos(⋉/3) = [( a^{2} + b^{2}) - (c/3)^{2})] / 2ab
(c ) lado opuesto al ángulo a triseccionar.