Trópico de Cáncer

A mitad del desierto hay una bola de cantera que anuncia al viajero que está cruzando el paralelo 23.45; El último lugar donde podrá ver al Sol en el cenit si sigue su camino hacia el norte. 

Siempre que voy a Monterrey a ver a mi abuela paso por este lugar. Me parece un poco místico, y al mismo tiempo, un poco olvidado. Me pregunto cuantas personas cruzan el Trópico de Cáncer y sienten nostalgia por sus hogares, tal vez muy lejos de ahí.

La puesta del Sol y las estaciones

Todas las civilizaciones antiguas estaban conscientes del movimiento del Sol. Esto era vital para predecir las estaciones y planear sus temporadas de cacería o, más recientemente, las cosechas. Al mirar en que punto del horizonte se ponía el Sol, y teniendo algunas características geográficas como referencia, podían crear calendarios y medir la duración del año. Seguramente notaron que en las épocas más frías el Sol estaba más bajo y se ponía en el extremo sur (o norte) del horizonte, y en las épocas más calurosas el Sol alcanzaba una mayor altitud y se ponía directamente frente a ellos, mirando al poniente.

De hecho, la inclinación del eje de la Tierra es lo que produce las estaciones, no la distancia a la que nos encontremos del Sol. El punto más cercano de la órbita de la Tierra al Sol –el perihelio– sucede a principios de enero, cuando es invierno en el hemisferio norte.

Trigonometría Esférica

Cualquier punto en una esfera se puede describir por medio de un sistema de coordenadas llamadas latitud y longitud. En el caso de la Tierra la latitud va desde los 90º en el polo norte, 0º en el ecuador y -90º en el polo sur. La longitud se mide a partir del Observatorio Real de Greenwich en Inglaterra y llega hasta 180º, al este con un signo positivo  o al oeste con un signo negativo.

En este sistema hay líneas de referencia fijas llamadas meridianos y paralelos. Si viviéramos en una naranja,  los meridianos serían las líneas que dividen los gajos y los paralelos serían rebanadas transversales paralelas al ecuador, que dividiría la naranja a la mitad.

Hay algunos paralelos importantes por su relación con las estaciones: Durante los equinoccios de primavera y otoño, el Sol se encuentra directamente sobre el ecuador, el día y la noche tienen la misma duración. En su  punto más al norte durante el solsticio de verano el paso del Sol por el cenit ocurre directamente sobre el Trópico de Cáncer, y de manera similar en el solsticio de invierno sobre el Trópico de Capricornio.

Si uno se encuentra mas allá del círculo polar durante el solsticio (en el ártico para el de verano y en el antártico para el del invierno) podrá ver al Sol recorrer los 360 grados de todo el horizonte en un día, sin que llegue la noche.

Cómo ubicar objetos en el cielo

Si proyectamos las coordenadas geográficas a una esfera imaginaria en el cielo obtendremos unas coordenadas similares a la latitud y la longitud llamadas coordenadas ecuatoriales. En éstas la longitud equivale a la ascensión recta (α) y la latitud a la declinación (δ). La única diferencia es  que el punto de referencia en la ascensión recta será el punto en el que se encuentra el Sol durante el equinoccio de primavera llamado punto vernal (ϒ). En ese momento las coordenadas del Sol en el cielo (α,δ) son (0,0).

En un año, la declinación del Sol va de 0º durante el equinoccio de primavera, avanza al norte hasta 23.45º en el solsticio de verano, regresa a 0º en el equinoccio de otoño y finalmente alcanza los -23.45º en el solsticio de invierno. ¿Ya adivinaron cuál es el ángulo de inclinación de la Tierra?

Para ver el paso cenital del Sol no importa la longitud del lugar donde estés pues éste ocurre a medio día, pero tu latitud geográfica debe ser igual a la declinación del Sol δ. Si vives entre los trópicos, habrá dos días al año en el que el Sol pasará directamente encima de tu cabeza. En ese momento los objetos verticales no producirán sombra. Las personas que se encuentren al norte del Trópico de Cáncer o al sur del Trópico de Capricornio, no pueden ver un paso cenital del Sol. Y, ¿Cómo puedo saber cuándo será la declinación del Sol igual a mi latitud?

La Tierra está inclinada 23.45º con respecto al plano del sistema solar llamado eclíptica (por ser donde suceden los eclipses). Por lo tanto el ecuador celeste no coincidirá con la eclíptica. Necesitamos un nuevo sistema de coordenadas en el que el Sol se mueva de manera más simple usando como punto de referencia el mismo punto vernal (ϒ) de las coordenadas ecuatoriales. En este sistema, llamado coordenadas eclípticas, el  Sol se mueve a lo largo de la latitud eclíptica (β) –y por lo tanto β siempre vale cero– y su longitud (λ) se incrementa de manera –casi– constante. Como en el transcurso de un año el Sol completa una circunferencia (y asumiendo que nuestra órbita es perfectamente circular) la longitud del Sol λ avanza a una razón de (360º/365.25 días) = 0.98º por día.

¿Para qué tantas coordenadas? Para encontrar la fecha en la que ocurrirá el paso cenital en cualquier lugar de la Tierra dada la latitud geográfica, necesitamos encontrar el valor de λ para ese día. La forma de resolver este problema es encontrando la relación entre las coordenadas ecuatoriales y las coordenadas eclípticas.

Si observas la figura de arriba (y lees un libro de geometría esférica) podrás encontrar la relación entre estos dos sistemas. Te puedo ahorrar el dolor de cabeza y decirte que la declinación del Sol δ, la longitud del Sol en un día dado λ y el ángulo entre los dos sistemas de referencia ε (el ángulo de inclinación de la Tierra con respecto a la eclíptica, es decir,  23.45º) se relacionan con la siguiente función senoidal:

sen(δ)=sen(ε) sen (λ)

despejando la longitud:

λ=arcsen[sen(δ)/sen(ε)]

Encuentra cuándo pasa el Sol por el cenit en tu ciudad

Si te perdiste en el alfabeto griego ¡no importa! lo único que necesitas es la latitud de donde te encuentres en decimales (pregúntale a Google). Luego, usa una calculadora que resuelva funciones trigonométricas inversas (si no tienes una, pregúntale otra vez a Google para usar una en línea). Por ejemplo, para la ciudad de Aguascalientes (latitud = 21º 52′ 51” N =  21.88). Sustituyendo en la ecuación de arriba δ =21.88, y ε = 23.45:

λ_ags=arcsen[sen(21.88)/sen(23.45)] = 69.47º

Para tener las unidades correctas, dividimos λ  por la constante de cambio mencionada arriba (360º/365.25 días) = 0.98º/día.

λ_ags/0.98  = 70.48 días

Como sabemos que en el equinoccio de primavera (20 de marzo del 2014) λ=0, entonces, el primer paso cenital para la ciudad de Aguascalientes ocurre aproximadamente 70 días después del equinoccio de primavera, es decir, el 29 de Mayo del 2014. El segundo paso cenital ocurrirá aproximadamente 70 días antes del equinoccio de otoño (22 de septiembre 2014), es decir, el 15 de Julio. Las fechas tienen un error de más o menos un día.

Obviamente no estoy tomando en cuenta minutos y segundos porque es irrelevante, el paso cenital solo puede ocurrir a medio día. Cuando hagas el cálculo toma en cuenta que para los lugares en el hemisferio sur el primer paso cenital sucede antes del equinoccio de primavera y el segundo después del equinoccio de otoño (por eso tienen signo negativo).

Para otras ciudades:

Honolulu (21° 18′ 32″ N = 21.3088º): 24 de mayo y 20 de julio.

Caracas (10° 30′ 0″ N = 10.5º):  16 de abril y 27 de agosto.

Río de Janeiro (22° 54′ 0″ S = -22.9º): 3 de enero y 8 de diciembre.

Tombuctú (16° 46′ 33″ N = 16.775º): 5 de mayo y 8 de agosto.

Nairobi (1° 17′ 0″ S = -1.28º): 17 de marzo y 25 de septiembre.

Bombay (18° 58′ 0″ N = 18.96º): 13 de mayo y 31 de julio.

Manila (14° 35′ 58″ N = 14.59º): 28 de abril y 15 de agosto.

Darwin (12° 28′ 0″ S = -12.46º): 17 de febrero y 24 de octubre.

Observar el paso cenital del Sol.

Ya que tienes una fecha, puedes salir tres días consecutivos alrededor del día que calculaste a medir la sombra de una estaca, palo o poste. No te confíes y salgas a las 12 hrs exactas porque la hora civil que utilizamos no es la hora astronómica. Nuestros relojes se acomodan por razones prácticas en zonas, horarios de verano, años bisiestos, etc.

Para observar el paso cenital del Sol necesitarás un objeto vertical colocado perpendicularmente al suelo (puedes ver un ejemplo en este enlace). El lugar debe estar lo más nivelado posible. Observa como avanza la sombra en intervalos de 10 o 20 minutos  y anota la hora a la que desaparece. ¿Cuánta diferencia hay entre el medio día astronómico y el medio día que marca el reloj?

Si hiciste todo correctamente y aún así no pudiste ver nada, entonces Henry Miller tenía razón:

“El mundo cada vez se parece más a un sueño de entomólogo. La Tierra se está saliendo de su órbita, el eje se ha desplazado; la nieve desciende desde el norte en enormes ráfagas de azul acerado…”