Un cubo hecho de cubos… ¿Lo pintamos y planteamos algo?

En la siguiente imagen se muestra un cubo construído a partir de cubos más pequeños, todos del mismo tamaño, a los que podríamos llamar cubos unidad, cuyas caras serían caras unidad, y sus aristas, no siendo muy original… aristas unidad.

De esta manera, nuestro cubo tendría de arista cuatro (cuatro aristas unidad), y podríamos decir que es de dimensión 4 x 4 x 4.

Te voy a plantear tres cosas y tú me dices cómo piensas que sería:

Vamos con la primera…

Pintamos las seis caras exteriores del cubo grande.

Ahora retiramos la capa exterior de cubos unidad que hemos pintado, como si le quitásemos una capa a una cebolla.

Apartamos a un lado, sin perderlos, esos cubos que hemos retirado y seguimos.

En el cubo que nos ha quedado ahora, volvemos a pintar las seis caras exteriores.

Una vez pintado, cogemos sus cubos unidad y los ponemos con los que retiramos anteriormente.

Observando ahora todos los cubos unidad y sus caras…

¿Qué porcentaje de caras unidad hemos pintado respecto del total?

Bien…

…¿lo has visto ya?

Ahora te planteo la segunda. Es lo mismo pero con un cubo inicial de 10 x 10 x 10.

Es decir, partimos de un cubo de 10 x 10 x 10. Lo pintamos y retiramos la capa de cubos unidad que hemos pintado.

Volvemos a pintar y a retirar la siguiente capa de cubos.

Y seguimos así hasta que hayamos pintado (parcialmente) y retirado todos los cubos unidad.

En este caso… ¿Qué porcentaje de caras unidad habremos pintado?

Míralo y me comentas tu solución.

Y ya para terminar, la tercera.

Ahora sólo vamos a pintar una vez (no vamos a retirar capas de cubos unidad para volver a pintar ni nada, simplemente pintamos el cubo grande que tengamos).

La pregunta es… ¿Qué dimensión debe tener el cubo para que al pintarlo el número de caras unidad no pintadas sea igual al número de caras unidad pintadas? ¿Y si queremos que las caras no pintadas sean cinco veces las caras pintadas?

 Como son varias las situaciones que te he planteado, puede que tengas alguna de las posibles respuestas y no todas, o quizás las tengas todas. Lo importante es que hagas el ejercicio de pensarlo y busques una forma, la que tú creas más conveniente, de intentar llegar a ellas.

Te animo a comentar lo que hayas pensado y las respuestas que tengas.