Un premio galáctico

El lenguaje matemático es tan fascinante que, con unas pocas cifras, y un par de operaciones, podemos crear números formidables.
(Esta entrada participa en la Edición 6.2 Número Pi del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog La Aventura de la Ciencia.)
PRIMERA PARTE

Los jugadores de Los Angeles Galaxy están muy contentos. Acaban de ganar el campeonato de la Major League Soccer. 
Una vez pasados los festejos y celebraciones por el triunfo, el presidente Chris Klein les ha prometido una gratificación económica por su victoria:
- He venido al vestuario a comunicaros que hemos decidido haceros un regalo por vuestro éxito.
Os vamos a dar tantos centavos de dólar como el número más grande que seáis capaces de formar con tres de vuestras camisetas (no valen las que tengan dos dígitos, ni tampoco podéis usar el número cero, claro).
Por ejemplo, si formáis el número 527 juntando las camisetas con las cifras 5, 2 y 7, os regalaremos 527 centavos de dólar.
- ¿Para cada uno?
- ¡Oh, no! Nuestro presupuesto no alcanza para tanto. Serán 5,27 dólares para que los repartáis entre todos, de la manera en que vosotros decidáis.
- ¿Podemos repetir números?
- No, no vale utilizar tres camisetas del mismo jugador.
- ¿Y podemos usar símbolos matemáticos?
- De acuerdo. Siempre y cuando no los repitáis, y si lo hacéis en sustitución de un número. Esto es, si utilizáis por ejemplo el signo más, entonces deberéis eliminar una cifra y sólo podréis usar dos dígitos: 5 + 9.
- Así que por cada signo que usemos tendremos que una cifra menos, ¿no?
- Eso es.
- ¿Y cuándo tenemos que darte la respuesta?
- Pues mañana mismo.  El deseo del club es que podáis disfrutar cuanto antes de vuestra merecida recompensa...
- Vale, mañana te decimos algo.
Los jugadores acuerdan reunirse por la tarde, después del entrenamiento, para ver cuál será la cifra que pedirán al club.

Además, han llamado a Pepe Vitruvio, que está de vacaciones por la costa oeste, para que les ayude con el problema.


SEGUNDA PARTE

Llega la tarde, y los futbolistas se reúnen en el último piso de un rascacielos de la ciudad de Los Ángeles.
- Bueno, pues vamos a ver qué hacemos.
- Desde luego, si utilizamos sólo cifras, está claro que el número más alto que podremos formar será el 987. Así obtendremos 987 centavos, esto es, 9,87 dólares. ¡Toda una fortuna, a repartir entre todos nosotros!
- Sí. Además, parece que si utilizamos símbolos matemáticos, lo único que haremos será perder dinero.
- Del signo menos mejor nos olvidamos: hará que obtengamos menos dinero. La mejor opción, sin poder usar el cero, sería 9 - 1 = 8 centavos. 

- En cuanto al signo más, tampoco nos será de gran ayuda. Partiendo de nuestro número elegido, si sustituimos cualquiera de las cifras por el signo más, sin duda perderemos bastante dinero. En el mejor de los casos, obtendremos 9 + 8 = 17 centavos, muy lejos de los 987 iniciales.
- Pues con el signo de la multiplicación (al que representaremos con un punto central) tampoco conseguimos incrementar nuestro premio. En este caso, de entre todos los productos posibles, el más beneficioso sería 9·8 = 72 centavos. Seguimos lejos de los 987 centavos.

- Evidentemente, si introducimos el signo de la división, tampoco vamos a conseguir nada positivo, por no hablar de la raíz cuadrada...
- Pues no se hable más, pediremos 987 céntimos, y ¡asunto arreglado!
- ¿Te parece bien, Pepe? Has estado muy callado durante nuestras discusiones...
- No, lo que pasa es que todos vuestros argumentos eran correctos, salvo la decisión final que habéis tomado.
- ¿Por qué?
- Creo que os habéis olvidado de una operación que os puede resultar muy beneficiosa: la potenciación. Se trata de un caso particular de la multiplicación en el que uno de los números (elexponente) indica las veces que debe multiplicarse el otro número (labase) por sí misma.
Así, por ejemplo, 9³ es igual a 9·9·9 = 729.
Lo único que tenemos que hacer es colocar unos números a una altura distinta de los otros y ya está.
Aunque esto no ha sido siempre así. Tanto los babilonios, como los griegos (especialmente Diofanto), los árabes, o los matemáticos medievales utilizaron diversos símbolos y palabras para describir los cuadrados, los cubos y las demás potencias de un número.
Michael Stifel, en su ‘Integra Arithmetica’ de 1544 introdujo el concepto de exponente. James Hume, en 1636, decidió situar el exponente en un renglón superior al de la base, aunque utilizaba números romanos para designarlos. Y finalmente Descartes, en su obra ‘Géométrie’ sustituyó los incómodos números romanos por los indoarábigos.
Así que, gracias a Descartes,  esta operación nos va a salir gratis, ya que no debemos utilizar ningún carácter adicional que nos obligue a prescindir de una de las cifras. El problema que tenemos ahora es determinar cómo situamos las distintas cifras de la forma más favorable.

Como podéis ver, he eliminado algunas combinaciones. Por ejemplo, sabemos que 89⁷ tiene que ser más pequeño que 98⁷, así que no lo calcularemos.

- Pepe, yo tengo una calculadora científica en la mochila.
- Sí, y yo me descargué una aplicación de cálculo para el móvil. Podríamos utilizarla.
- Me temo que no van a servir ninguna de las dos. Ambos dispositivos se van a quedar bloqueados con los cálculos.
De hecho, hay numerosas páginas en internet que ofrecen servicios de cálculo para números enormes, y tampoco serían capaces de realizar algunas de estas operaciones. Aunque hay uno que no falla. Me refiero a la página HyperCalc JavaScript. La utilizaremos para hallar los resultados de las distintas opciones.

Ahora vamos con última fila de mi cuadro de combinaciones posibles: 9⁸⁷, 9⁷⁸, 8⁹⁷, 8⁷⁹, 7⁹⁸ y 7⁸⁹. En este caso, cada potencia podemos calcularla de 2 formas distintas. Si cogemos el número 9⁸⁷, podemos resolver primero 9⁸ y elevar el resultado a 7, o bien calcular primero 8⁷ y elevar 9 al resultado que nos dé.
Vamos a ver los distintos resultados:

- Pues, a la vista de todo esto, la cifra más alta la formamos con la combinación 7⁽⁸⁹⁾. Así que le pediremos al club 7⁸⁹ dólares.
- ¡Estupendo! ¡Ya podemos irnos!
- ¡No corráis tanto, forasteros! Aún nos queda algo por hacer.  
- ¿A qué te refieres, Pepe?
- Me parece que os olvidáis de otro signo aritmético.
- Ah, ¿sí? No se me ocurre cuál.
- Bueno. Hay un signo que a más de uno le causará admiración... Se trata del signo: 

- ¿Eso es un signo matemático? ¿Y para qué sirve?
- Es el signo que representa el factorial de un número. Los números factoriales consisten en el producto de todos los números enteros positivos desde el 1 hasta el número indicado.
Así, el factorial de 5, que se escribe 5!, será el producto de los cinco primeros números enteros: 
5! = 1·2·3·4·5 = 120
Y el factorial de 9 será:
9! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9 = 362.880
- Está claro para qué valen los signos de sumar o de multiplicar. Pero, ¿para qué sirven estos números factoriales?
- Pues se vienen utilizando desde hace mucho tiempo, sobre todo en combinatoria y en análisis matemático. Los matemáticos hindúes ya los empleaban en el siglo XII. Y sirven, por ejemplo, para calcular el número de formas diferentes que hay de ordenar distintos objetos.
Por ejemplo, si queremos saber de cuántas formas distintas podéis salir al campo de fútbol los 11 jugadores de un equipo (saliendo de uno en uno, no por parejas, y suponiendo que siempre son titulares los mismos 11 jugadores), tendremos un total de:
11! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11 = 39.916.800 formas distintas de salir al estadio.
O sea, que si cada dos horas jugáis un partido, y no descansáis durante las 24 horas del día, podríais estar más de 9.107 años jugando al fútbol sin repetir el orden de salida al terreno de juego.
- ¡Caramba!
- ¿Y por qué se representan los números factoriales con el signo de exclamación?
- Bueno, la primera persona a la que se le ocurrió utilizar dicho signo fue a Christian Kramp en 1808. Christian fue un profesor de matemáticas de Estrasburgo que realizó un estudio a fondo de los números factoriales. En un principio utilizaba un símbolo con forma de ángulo recto, que situaba en la esquina inferior derecha del número.
Pero tenía problemas con la imprenta, así que para la edición de su libro Elements d'arithmétique universelle, decidió utilizar el signo de admiración a continuación de la cifra.
Lo que no está claro es por qué escogió precisamente este signo, que sirve para expresar alegría. El símbolo viene de la palabra latina iocundum, que significa agradable, alegre, placentero. Primero se abrevió la palabra (io), que se convirtió en una exclamación de alegría, y en un segundo paso se puso la I mayúscula sobre la o minúscula, y así se obtuvo dicho símbolo, como signo de admiración.

Quizás la relación entre el símbolo y la operación de factorización sea la admiración que ésta causa entre la gente cuando calculamos el resultado de la operación. Y si no, fijaos en lo que ocurre si cambiamos uno de nuestros números, el 7, por un signo de admiración:
98! = 9,4268 · 10¹⁵³
Esto es, ¡un número de 154 cifras!

- Sí, es una cifra muy grande. Pero recuerdo que con la potenciación obtuvimos una cantidad mucho mayor:
7⁸⁹ = 7,3785 · 10^113.427.138    >    98! = 9,4268 · 10¹⁵³
- Entonces ya lo tenemos claro: nos quedamos con el 7⁸⁹¿O tienes alguna sorpresa más para nosotros, Pepe? 

- Pues sí, aún nos queda combinar ambas operaciones para intentar obtener el número más alto posible.

Si queremos cumplir con las condiciones impuestas, parece que hay seis posibles combinaciones. Pero me resulta verdaderamente difícil decidirme por una de ellas.

No sé si será mejor poner el número más grande como base o como exponente:
2³ (8) < 3² (9)     pero     3⁴ (81) > 4³ (64)
Y tampoco sé si será mejor colocar el factorial en la base o en el exponente:
2!³ (8) < 2^3! (64)     pero     3!² (36) > 3^2! (9)
Tendremos que echar mano nuevamente de nuestra página de HyperCalc JavaScript y hallar los distintos resultados:
Creo que finalmente nos decantaremos por la opción de 8⁹! en vez de la de 7⁸⁹


8⁹! = 1,7828 · 10^{1.032.606.169} > 7⁸⁹ = 7,3785 · 10^113.427.138
- Parece que es una cantidad bastante grande de centavos, pero seguro que no representará ningún problema para Los Angeles Galaxy, ¿verdad?

- Me temo que sí va a ser un problema. ¿Sois conscientes de lo que significa dicha cifra?
- Debe tener muchos dígitos. Podremos darnos más de un capricho con el premio.
- Se trata de una cifra de más de 1.032 millones de dígitos.
- Tampoco es tanto, ¿no?
- ¿Sabes cuántos átomos hay en el universo?  Unos 10⁸⁷, esto es, un 1 seguido de 88 ceros.
- Bueno, tampoco hay tanta diferencia entre ambos números. Tan sólo unas cuantas cifras más en el exponente.

- La verdad es que con las notaciones científicas uno no acaba de controlar la magnitud y la proporción de los números. Para iniciarse en el tema, hay una magnífica página que lo explica muy bien: La escala del universo.
Fijaos: se estima que el volumen de un electrón es de 9,36 · 10⁻⁴⁴ m³, y que el volumen del universo es de 7 · 10⁸¹ m³. Pues bien, si llenásemos por completo el universo de electrones, la cifra de éstos sería de 7,4786 · 10¹²⁴. Esto siempre que no dejásemos ningún espacio entre ellos, lo cual no es posible debido a las leyes del empaquetamiento de esferas. 

Ahora imaginaos que todo el universo, lleno así de electrones, lo comprimiésemos al tamaño de un electrón, y volviésemos a llenar un universo igual que el nuestro de esos pequeños universos llenos de electrones.
Y que repitiésemos este proceso 8 millones de veces. El universo final, lleno de pequeños universos, llenos de pequeños universos, llenos de pequeños universos….(8 millones de veces)… llenos de pequeños universos llenos de electrones contendría tantos electrones como centavos os tendría que dar el club.

- Visto así, sí que parece una cantidad muy grande. Quizás será mejor que elijamos otra combinación de cifras que dé un resultado que sí pueda pagarnos el club…
- Bueno, se estima que el dinero que circula en todo el mundo es de unos 80 billones de dólares (10¹² $). Así que ya sabéis cuál es el límite superior de vuestra petición.
- Y el límite inferior creo que también lo conocéis: al entrar en el edificio he visto un montón de pequeños aficionados que se han congregado en la puerta porque sabían que os habíais reunido aquí, y me han pedido que os preguntase si les podéis firmar unos autógrafos.
- Pues sí, quizás será mejor que nos olvidemos de echar más números, pues ya tenemos bastante recompensa que la que obtendremos por la sonrisa de esos niños. Creo que nuestra satisfacción y la de los seguidores también la podríamos calcular en forma de potencia, ¿verdad Pepe?
- ¡Bajemos ahora mismo!

Si te apetece profundizar más sobre los temas tratados en esta historia, puedes visitar cualquiera de estas estupendas páginas: La historia de los símbolos, Con tres cifras, Babilonia y Egipto, Exponente de una potencia, La historia de los exponentes, La evolución del simbolismo matemático.
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