Un truco para cuadrados de números terminados en cinco

Como dice el título de la entrada, vamos a ver un “truco” para calcular el cuadrado de números terminados en cinco, como por ejemplo 25², 55²…

 El truco no es más que una forma rápida de obtener el resultado sin necesidad de tener que realizar la multiplicación completa del número en cuestión por si mismo.

¿Y en qué consiste?

Lo único que hay que hacer es multiplicar el número que está delante del cinco (por ejemplo, en 15² sería el 1, y en 105² sería el 10) por el número que le seguiría, y a eso añadirle al final veinticinco. Así, en el caso de 15² se multiplicaría 1 por 2 y se añadiría 25, quedando 225; en 105² multiplicaríamos 10 por 11 y añadiríamos 25, obteniendo así 11.025.

Lo vemos con una imagen que se entiende mucho mejor…

¿Fácil verdad?

Obviamente el “truco” es tanto mejor cuanto menor es el número delante del cinco que tenemos que multiplicar, ya que la multiplicación resulta muy sencilla.

Pero, esto no sería matematicascercanas si terminásemos la entrada aquí. Hay que preguntarse…

¿Por qué funciona esto?

Lo vemos.

Como se trata de números terminados en cinco, podemos escribir el número de forma general como…

donde, como se ve, a es el número que está delante del cinco (a=1 en 15², a=5 en 55², a=10 en 105²…).

Este número (a5) podemos descomponerlo como suma de las decenas y de las unidades de la siguiente manera:

Pues bien, escrito de esta forma, vamos a elevarlo al cuadrado y ver qué pasa.

Y ahora nos detenemos a analizar un poco lo que hemos obtenido.

a·(a+1) es el número que está delante del cinco multiplicado por el siguiente número (es lo que hacemos en el primer paso del truco); Al estar multiplicado por cien se están añadiendo dos ceros a la derecha del mismo y, dado que es una cantidad que sumamos, lo que se hace realmente es dejar dos espacios a la derecha en los que precisamente aparece el 25 que se suma, es decir, añadimos a la derecha veinticinco (segundo paso).

Pues ya sabemos por qué funciona este truco.

Por cierto, todo esto me recuerda bastante al famoso truco que adivinaba la edad y el número de calzado.

Todas las imágenes empleadas son de autoría propia.