Una demostración matemática

En mi entrada anterior, veo que nadie se atrevió a demostrar el ejercicio. No me sorprende lo más mínimo, ya que gran parte de las generaciones actuales no están preparadas para el razonamiento lógico. Estáis acostumbrados a que se os de todo en bandeja, masticado y que os digan “esto se aplica en estos casos”. Las matemáticas, por suerte, no funcionan así. Bien, en esta entrada demostraré el problema yo mismo y también os prometí que iba a comentar sobre el famoso algoritmo de la división que apenas se enseña hoy en día, pero que en la España de época del BUP y COU SÍ se enseñaba bastante.

I. La estrategia

Una estrategia matemática es lo que llamamos la “prueba por casos”. Esta es una estrategia de divide y vencerás. Es decir, divides tu trabajo en partes dando dos casos o más que demuestran lo que afirmas. En el ejercicio anterior, se puede demostrar con esta estrategia; pero, también hablaremos de pruebas directas con definiciones. De hecho, aunque dividas un problema en dos partes, todavía tienes el deber de demostrar esas dos partes, y una prueba directa es, con frecuencia, la única manera de lidiar con esas partes.

Bien. Repitamos la proposición de mi entrada anterior. Dije:

Si n es un número entero, entonces n² + n + 6 es par.

Ideas:

Muchos alumnos mínimamente competentes a estas alturas utilizarían las definiciones que comenté anteriormente. Por ejemplo, para demostrar esto, convertirían la expresión en lo siguiente:

(2a + 1)² + (2a + 1) + 6. Finalmente, harías un poco de álgebra para escribir esto como 2k para un número entero k. Si puedes hacer eso con éxito, entonces has demostrado que la expresión es par.

Pero aquí lo que nos preocupa es que TODO NÚMERO ENTERO tenga esa propiedad. ¿Sabes qué hacer? Como todo número entero debe ser positivo o negativo, si demostramos la proposición cuando n es par y la demostramos cuando n es impar, entonces combinando las dos cosas demostramos que esto es cierto para todos los números enteros. De eso se trata esto de la prueba por casos.

II. La demostración/prueba

Caso 1: n es par. Has de suponer que n es par. Entonces n = 2a para un número entero a. Así,

n² + n + 6 = (2a)² + (2a) + 6

   = 4a² + 2a + 6

   = 2(2a² + a + 3)

Y, siendo que a es un número entero, entonces 2a² + a + 3 es también un número entero. En consecuencia, n² + n + 6 = 2k y k = 2a² + a + 3 (un número entero también) y entonces la expresión es par.

Caso 2: n es impar. Harías lo mismo que en el caso 1, solo que tu definición sería n = 2a + 1.

Ahora pasemos al famoso algoritmo de la división euclídea. Si quieres leer con más detalles sobre su historia y aplicaciones, pincha este enlace. Ahora voy a tratar el tema a mi manera.

Como bien sabemos, a menudo se da el caso que dos números NO resultan en un cociente perfecto (un número entero, quiero decir). Por ejemplo, el 7 no se divide bien entre 3. Si tienes 7 euros y lo divides entre 3 personas, te va a salir un residuo. Aquí es donde entra bien conocer el algoritmo de la división. Puedes pensar en ello de la siguiente manera:

7 = 3 * 2 + 1.

En este ejemplo, el 2 es el cociente y el 1 es precisamente el residuo. De eso se trata el algoritmo de la división y es lo suficientemente importante que cuenta como TEOREMA. De hecho, lo llaman “algoritmo”, pero considero que algoritmo es un término poco apropiado. Se le dio ese nombre porque existe un algoritmo relacionado. Pasa lo mismo con términos como “oso koala”, que en realidad no es un oso sino un marsupial, las fresas no son bayas (en inglés le llaman “strawberries”, pero NO son “berries”), sin embargo, un aguacate SÍ lo es y esto lo llamo un apunte que debería ir a pie de página, pero en realidad solo es un pretexto para aprovechar el momento y deciros que un plátano sí es una baya pero la frambuesa NO lo es y el mundo debería saber esas cosas y ser mejor en su educación. En fin, que a veces me desespera la ignorancia de tantas personas.

Volvamos al tema principal: la división.

TEOREMA:

a = mq + r si por todos los números enteros a y m (m es mayor a 0) existen números enteros únicos q y r.

0 es igual o menos que r y r es menos que m.

Nótese que si m = 2, entonces las dos opciones son a = 2q + 0 y a = 2q + 1; ¡estas son las definiciones de números pares e impares!

Si r = 0, entonces esto produce a = mq, que es la definición de la divisibilidad. Doy otros ejemplos:

Si a = 18 y m = 7, entonces 18 = 7 * 2 + 4. Nótese que 0 ≤ 4 < 7

Si a = 13 y m = 3, entonces 13 = 3 * 4 + 1. Nótese que 0 ≤ 1 < 3

No voy a demostrarlo formalmente hoy, pero ya os vais haciendo una idea de qué va esto.

Esto se enseñaba en el BUP y COU, época de los años 70 y 80 en España. Actualmente, me han comentado varias cosas y no sé cuales creer. Algunos me afirman que se sigue enseñando, pero no lo he visto en ningún libro de texto contemporáneo español que vaya sobre matemáticas. Si conoces de alguno, déjamelo saber en los comentarios.

Ahora os dejo con un ejercicio a los lectores que tienen capacidad matemática. No sois muchos, pero en entradas anteriores que he puesto sobre matemáticas, alguna participación ha sido positiva.

Aquí va el ejercicio y vamos a ver si eres capaz de resolverlo adecuadamente:

Demuestra que si abc es un múltiplo de 10, entonces por lo menos uno de los factores ab, ac ó bc es también un múltiplo de 10. Puedes dar 3 ejemplos de este fenómeno antes de demostrarlo.