¿Vemos la solución al problema de los cubos pintados?

Recuerdo lo que decía el problema de los cubos que propuse (bueno en realidad eran casi cuatro problemas en uno):

“En la siguiente imagen se muestra un cubo construído a partir de cubos más pequeños, todos del mismo tamaño, a los que podríamos llamar cubos unidad, cuyas caras serían caras unidad, y sus aristas, no siendo muy original… aristas unidad.

De esta manera, nuestro cubo tendría de arista cuatro (cuatro aristas unidad), y podríamos decir que es de dimensión 4 x 4 x 4.

Te voy a plantear tres cosas y tú me dices cómo piensas que sería:

 Vamos con la primera…

Pintamos las seis caras exteriores del cubo grande.

Ahora retiramos la capa exterior de cubos unidad que hemos pintado, como si le quitásemos una capa a una cebolla.

Apartamos a un lado, sin perderlos, esos cubos que hemos retirado y seguimos.

En el cubo que nos ha quedado ahora, volvemos a pintar las seis caras exteriores.

Una vez pintado, cogemos sus cubos unidad y los ponemos con los que retiramos anteriormente.

Observando ahora todos los cubos unidad y sus caras…

¿Qué porcentaje de caras unidad hemos pintado respecto del total?

Bien…

…¿lo has visto ya?

Ahora te planteo la segunda. Es lo mismo pero con un cubo inicial de 10 x 10 x 10.

Es decir, partimos de un cubo de 10 x 10 x 10. Lo pintamos y retiramos la capa de cubos unidad que hemos pintado.

Volvemos a pintar y a retirar la siguiente capa de cubos.

Y seguimos así hasta que hayamos pintado (parcialmente) y retirado todos los cubos unidad.

En este caso… ¿Qué porcentaje de caras unidad habremos pintado?

Míralo y me comentas tu solución.

Y ya para terminar, la tercera.

Ahora sólo vamos a pintar una vez (no vamos a retirar capas de cubos unidad para volver a pintar ni nada, simplemente pintamos el cubo grande que tengamos).

La pregunta es… ¿Qué dimensión debe tener el cubo para que al pintarlo el número de caras unidad no pintadas sea igual al número de caras unidad pintadas? ¿Y si queremos que las caras no pintadas sean cinco veces las caras pintadas?“

Éste es el enunciado completo. Si no lo habías visto antes o no lo has intentado resolver aún, te invito a que lo hagas antes de seguir leyendo.

Ahora, si te parece bien, vamos a resolverlo…

 Vamos con la primera parte.

Tenemos un cubo de dimensión 4 x 4 x 4, es decir, nuestro cubo está formado por:

4 · 4 · 4 = 64 cubos unidad

Como cada cubo unidad tiene a su vez seis caras, en total hay

64 · 6 = 384 caras unidad

Pintamos las seis caras exteriores del cubo grande…

Para ver las caras unidad que hemos pintado podríamos ir viendo cubo unidad a cubo, pero habría que tener en cuenta que los de las esquinas tendrían tres caras unidad pintadas, los que están en la parte central de las aristas dos caras pintadas, y los que están en el centro sólo una cara pintada, con lo que tendríamos que hacer algunas cuentas y tener mucho cuidado de no equivocarnos.

Es mucho más sencillo hacerlo con el cubo grande. En cada cara del cubo grande hay 16 caras unidad (4 · 4 = 16), y como hemos pintado las seis caras del cubo grande, en total habremos pintado en este paso

16 · 6 = 96 caras unidad pintadas (en el primer paso)

Retiramos ahora la capa exterior de cubos pintada…

Y nos queda un cubo de dimensión 2 x 2 x 2.

Lo pintamos…

Ahora, para ver las caras unidad pintadas en este segundo paso, nos volvemos a fijar en el cubo grande que tenemos. Como en cada cara tiene cuatro caras unidad y hemos pintado sus seis caras, en este segundo y último paso hemos pintado

4 · 6 = 24 caras unidad pintadas (en el segundo paso)

Así es que, entre las dos veces que hemos pintado, el número total de caras unidad pintadas es de

96 + 24 = 120 caras unidad pintadas

Como se nos pregunta por el porcentaje de caras unidad pintado respecto del total, éste será:

Hay un 31,25 % de caras unidad pintadas.

Veamos ahora la segunda parte.

En este caso el cubo de partida es de dimensión 10 x 10 x 10.

Si nos fijamos en lo que ha pasado en la primera parte, cada vez que quitemos una capa de cubos el cubo resultante va a tener dos unidades menos de arista. Es decir, pasaremos de un cubo de 10 x 10 x 10 a otro de 8 x 8 x 8, después a otro de 6 x 6 x 6, luego a uno de 4 x 4 x 4 y, por último, a uno de 2 x 2 x 2.

En el cubo inicial de 10 x 10 x 10, hay

10 · 10 · 10 = 1.000 cubos unidad

Como cada cubo unidad tiene a su vez seis caras, en total hay

1.000 · 6 = 6.000 caras unidad

Como ahora tenemos más pasos que en el caso anterior (antes pintábamos sólo dos veces y ahora lo hacemos en cinco ocasiones), para que no se haga demasiado largo, vamos a ver directamente las caras unidad pintadas que tenemos en cada cubo grande:

cubo inicial de 10 x 10 x 10 –>  (10 · 10) · 6 = 600 caras unidad pintadas

cubo de 8 x 8 x 8 –> (8 · 8) · 6 = 384 caras unidad pintadas

cubo de 6 x 6 x 6 –> (6 · 6) · 6 = 216 caras unidad pintadas

cubo de 4 x 4 x 4 –> (4 · 4) · 6 = 96 caras unidad pintadas

cubo de 2 x 2 x 2 –> (2 · 2) · 6 = 24 caras unidad pintadas

Luego el total de caras pintadas es de:

600 + 384 + 216 + 96 + 24 = 1.320 caras unidad pintadas

Y, respondiendo a la pregunta que se nos hace, el porcentaje de caras unidad pintadas respecto del total en este segundo caso será:

Es decir, hay un 22 % de caras unidad pintadas.

Cuanto mayor es la dimensión del cubo inicial el porcentaje de caras unidad pintadas final respecto del total es menor.

Bueno, después de haber visto los dos primeros casos, la tercera parte ya no debe suponernos demasiado problema porque, además, sólo pintamos una vez.

Ahora se nos pregunta qué dimensión debe tener el cubo para que al pintarlo el número de caras unidad no pintadas sea igual al número de caras unidad pintadas; Y también se nos pregunta por la dimensión que debe tener si queremos que las caras no pintadas sean cinco veces las caras pintadas.

Lo que tenemos que hacer  es generalizar el problema. Es decir, vamos a considerar un cubo genérico de arista n y, por tanto, de dimensión n x n x n.

En este cubo de dimensión n x n x n habrá

n · n · n = n³ cubos unidad

y como cada cubo unidad tiene seis caras, en total habrá 6n³ caras unidad.

Lo pintamos…

Veamos las caras unidad pintadas.

En cada cara del cubo grande hay n · n = n² caras unidad. Y, como hemos pintado las seis caras del cubo grande, en total son 6n² caras unidad pintadas.

El número de caras unidad no pintadas se obtiene fácilmente restando a las caras unidad totales las caras unidad pintadas:

6n³ – 6n² = 6n²·(n-1) caras unidad no pintadas

Ahora vamos a resolver la primera de las preguntas. Se nos dice que el número de caras unidad no pintadas (6n²·(n-1)) debe ser igual al número de caras pintadas (6n²), luego:

6n²·(n-1) = 6n²

Resolvemos la ecuación que hemos obtenido…

n-1 = 1

n = 2

Es decir, para que el número de caras unidad no pintadas sea igual al número de caras unidad pintadas, el cubo inicial debe ser de dimensión 2 x 2 x 2.

Para resolver la segunda pregunta, en la que se pide que el número de caras no pintadas (6n²·(n-1)) sea cinco veces el número de caras pintadas (6n²), basta con plantear su correspondiente ecuación:

6n²·(n-1) = 5 · 6n²

y resolver…

n-1 = 5

n = 6

Para que el número de caras unidad no pintadas sea cinco veces el número de caras unidad pintadas, el cubo inicial debe ser de dimensión 6 x 6 x 6.

Pues ya hemos contestado a todas las preguntas que planteaba en este problema.

Una última cosa. Si os fijáis en lo que hemos visto en esta última parte, en la que sólo pintamos una vez, se puede deducir que la dimensión que debe tener el cubo sobre el que pintamos para que el número de caras unidad no pintadas sea un número de veces determinado el número de caras pintadas (esto parece un trabalenguas) es de una unidad más.

Es decir, si queremos que sea 3 veces mayor el cubo debe ser de 4 x 4 x 4, para que sea 8 veces mayor el cubo debe ser de 9 x 9 x 9, o para que sea 1.000 veces mayor el cubo sobre el que pintamos debe tener dimensión 1.001 x 1.001 x 1.001.

Espero que os haya gustado el problema y gracias por vuestro tiempo.