Vera, a ver si sabes decirme…

– Vera, a ver si sabes decirme qué es lo que voy a dibujar…

– ¡Es un punto!

– Espera, que aún no he terminado de dibujar…

-¡Ah vale! Eso sí sé lo que es… es un rectángulo.

–  ¡Muy bien Vera! ¿Y sabes decirme cuál es su área?

– ¿Puedo coger la tiza azul?

– Claro que puedes, cógela.

– Pueeees… si dibujo una cuadrícula como la de mi cuaderno…

… tiene 66 cuadraditos.

– ¿Los has contado todos?

– No, en realidad he multiplicado los cuadraditos que había en la fila de abajo por los cuadraditos que hay para arriba, porque nos explicó un día que multiplicar era como sumar varias veces la misma cantidad, y como hay 6 filas de 11 cuadraditos, pues he multiplicado 6 por 11, que son 66 cuadraditos.

– Muy bien pensado Vera ¿y sin cuadraditos? ¿sabes cuál es el área del rectángulo?

– Mmmm… entonces lo que mida la línea de abajo por lo que mida la línea que va para arriba.

– ¡Eso es! Si recuerdas, a la línea de abajo le habíamos llamado base, y a la linea vertical que es perpendicular a la base le habíamos llamado altura. Así que el área del rectángulo sería su base por su altura. Déjame que borre los cuadraditos y te lo escriba…

¿Y el área de un cuadrado? ¿Sabrías decírmela?

– Pues igual.

– ¿Igual?

– Sí, es un rectángulo pero con la base igual que la altura ¿no?

– Tienes mucha razón Vera. En el cuadrado los cuatro lados son iguales y forman ángulos de 90 grados, esos que llamábamos ángulos rectos. Como son todos los lados iguales, no se suele distinguir entre base y altura como en el rectángulo, simplemente se dice lados del cuadrado…

– ¡Lado por lado entonces! Pero sigo pensando que es lo mismo.

– Sí, en realidad sí que lo es… ¿y el área de un triángulo?

– Mmmm… no lo sé. Sé cómo es un triángulo, pero no sé cuál es su área.

– Bueno, no pasa nada Vera. Déjame que te dibuje otra figura…

¿Sabes qué figura es?

– Un rectángulo… ¿inclinado?

– No, ten en cuenta que para que fuese un rectángulo tendría que tener todos los ángulos rectos, como dice su propio nombre, y no los tiene. Es un romboide. El romboide tiene los lados paralelos dos a dos. Si te fijas, el lado de arriba es paralelo al de abajo, y el de la izquierda es paralelo al de la derecha. Además, al ser los lados así, ocurre que el de arriba mide lo mismo que el de abajo, y el de la izquierda mide lo mismo que el de la derecha.

– Peroooo… al rectángulo también le pasaba eso… ¿no?

– Pues sí, tienes razón en lo que dices Vera, de hecho el rectángulo es un caso particular de romboide, definido así. En el caso concreto del rectángulo la altura coincide con un lado, pero en un romboide que no sea un rectángulo no pasa eso. ¿Sabrías decirme cómo calcular el área de un romboide como el que te he dibujado?

– A veeeer… no se.

– Fíjate en lo que parece que hay de más a un lado y le falta al otro.

– ¡Ah!… ¡Se me ocurre una cosa! Si cojo el pico de la izquierda, éste que coloreo de azul…

… lo borro de ahí y lo coloco al otro lado…

… me sale… ¡un rectángulo!

Así que el área es otra vez la base por la altura…

– ¡Fenomenal Vera! Por cierto, el “pico” que has cambiado de sitio era un triángulo.

– ¡¡¡Ya lo tengo!!!

– ¿Ya tienes qué?

– Lo que me había preguntado antes, lo del área del triángulo. Ya sé cómo puedo sacarlo ¿se lo digo?

– Claro que sí Vera, lo estoy deseando.

 – Vale. Voy a dibujar un romb… un rombe…

– ¿Un romboide?

– ¡Sí eso! un romboide, como el de antes…

… si lo parto por la mitad me sale un triángulo y, como el área del rombe… ¡romboide! es base por altura, como el triángulo es la mitad… su área es… ¡¡¡la mitad de la base por la altura!!!

 – ¡Muy bien! ¡Eso ha estado pero que muy bien!

Voy a dibujar otra figura. Ésta seguro que sí la conoces…

– ¡Sí! ¡Esa sí! Es un rombo.

– Eso es. Si te fijas, el rombo es como el romboide pero con los cuatro lados iguales. Como pasaba con el cuadrado y el rectángulo, el rombo es un caso particular de romboide: tiene los lados paralelos dos a dos y, además, todos iguales.

– Perooo… entonces el cuadrado también es un rombo ¿no? porque cumple todo eso también: tiene los lados paralelos dos a dos y son iguales.

– Efectivamente, el cuadrado, además de ser un caso particular de rectángulo como habíamos dicho antes, es un caso particular de rombo. Pero fíjate que no ocurre al contrario, no cualquier rombo es un cuadrado, para que pueda serlo debe tener todos los ángulos rectos.

Quizás sea más complicado que lo veas ahora, pero… ¿se te ocurre cuál puede ser el área del rombo?

– Pues la base por la altura, como el romboide. Hemos dicho que es un romboide también ¿no?.

– Tienes razón, aunque muchas veces lo que se conoce del rombo son sus diagonales, que unen los vértices no consecutivos. A la de mayor medida se le llama diagonal mayor y a la de menor medida se le llama diagonal menor. Por cierto, en un cuadrado las dos diagonales miden lo mismo.

Déjame que lo dibuje para que lo veas mejor…

A ver si eres capaz ahora de deducir el área del rombo utilizando sólo sus diagonales.

– ¿Puedo mover picos… bueno triángulos… como antes?

– Claro que sí Vera, puedes hacer todo lo que se te ocurra.

– Pueeeesss….

… ¡ah sí!…

… voy a coger los dos triángulos de abajo. Los coloreo diferente para que se vea…

… y ahora los borro de ahí y los pongo encima de los otros…

… y me queda… ¡un rectángulo! ¡genial!

Como su base es la diagonal menor y su altura es la mitad de la diagonal mayor, entonces…

… el área es la diagonal menor por la mitad de la diagonal mayor…

– ¡Perfecto! Lo puedes poner también así, como la mitad del producto de las dos diagonales…

Y mira, también hay otra forma de llegar al mismo resultado al que has llegado tú: considerando el rectángulo que estoy dibujando en rojo, que tiene de base la diagonal mayor y de altura la diagonal menor; y entonces, si observas, el área del rombo es justo la mitad que la del rectángulo rojo…

Vera ¿Quieres que sigamos viendo más cosas?

– ¡Sí! me gusta, me recuerda al Tangram que tiene mi papá y con el que hago figuras yo.

– De acuerdo. Todas las figuras que hemos visto hasta ahora, menos el triángulo, son polígonos de cuatro lados, por eso se llaman cuadriláteros, y además, son también paralelogramos porque tienen sus lados paralelos dos a dos.

Ahora te voy a enseñar otro polígono, también cuadrilátero, pero que no es un paralelogramo, porque sólo tiene dos de sus lados paralelos, y los otros dos no lo son.

Es el trapecio.

Los lados que son paralelos son las bases, y como hay una que es mayor que la otra, a la base más grande se le llama base mayor, y a la más pequeña base menor. Te lo dibujo para que lo veas bien…

 ¿Te atreves a sacar el área del trapecio?

–  Vale… aunque ahora mismo lo único que se me ocurre es intentar que me salga otra vez una de las que ya me sé…

… a ver… aquí tengo dos picos… no puedo hacer como antes…

… mmmm… ¡ya sé!

Si pongo otro como ese pero al revés justo pegado…

… ¡bien! me vuelve a salir un romb… rombi… ayyy… ¡romboide!

¡Vaya nombre que tiene más raro!

Y tiene de base… la suma de la base mayor y la base menor del trapecio…

…así que su área es… la base mayor más la base menor por la altura…

– Vera ¿no te falta algo?

– ¿Qué falta?

– El paréntesis… la altura está multiplicando a la suma de las dos bases, no sólo a la base menor como has puesto. Tienes que poner un paréntesis que lo indique…

– Es verdad. Se me olvida poner los paréntesis.

– No pasa nada, fíjate bien para la próxima vez, porque si no estás escribiendo una cosa diferente a la que estás pensando.

¿Te das cuenta de la cantidad de cosas que estas descubriendo tu sola?

– ¡Si! ¡Es como un juego!

– A ver qué te parece esto otro. ¿Sabés cuál es la señal de STOP verdad?

– Sí…una roja que pone STOP.

– ¿Y sabes qué forma tiene?

– Sí, es un… hexágono… lo recuerdo porque aparece en los libros siempre de ejemplo.

– Correcto, es un hexágono porque es un polígono que tiene seis lados. Pero esto otro que te estoy dibujando también es un hexágono…

– ¿Eso es un hexágono?

– Claro, tiene seis lados, y también seis ángulos, como debe tener un hexágono.

– Perooooo…

– Lo que pasa es que la imagen que tú tienes de un hexágono en la mente es la de un hexágono regular.

– ¿Regular? Pues si el mío es regular, ese qué es… ¿malo? ¡Se ve bastante más feo que el mío!

– Te lo explico Vera. Lo de regular no es porque sea menos bueno o menos bonito. Cuando decimos que un polígono es regular es porque tiene todos los lados y todos sus ángulos interiores “iguales”, bueno en realidad habría que decir congruentes entre sí, pero eso mejor te lo cuento más adelante, lo dejamos en iguales. El cuadrado, por ejemplo, es un polígono regular, porque tiene sus cuatro lados y sus cuatro ángulos iguales.

La señal de STOP tiene forma de hexágono regular, porque sus seis lados y sus seis ángulos son iguales, y el otro hexágono que te he dibujado yo sería un hexágono irregular.

Te dibujo en la pizarra el hexágono regular…

– Sí, ese es el de la señal de STOP… ¡Qué bien ha quedado!

– Gracias Vera… no siempre me sale tan bien.

– ¿También quiere que le diga el área de éste?

– ¿Vamos a intentarlo no?

– Uuuffff… ¡no tengo ni idea! no se me ocurre cómo hacerlo.

– Déjame que te ayude un poco, te voy a dibujar las diagonales que pasan por el centro y seguro que lo ves mejor…

– Sí, ahora mejor… hay seis triangulitos iguales, así que…

… el área del hexágono tiene que ser seis veces la del triangulito, y entonces…

… seis por… ¿como era?.. ¡ah sí! por  la mitad de la base por la altura del triangulito. Y la base es el lado.

– ¡Muy bien visto Vera!

Te cuento. A la altura del triangulito, que es la menor distancia que hay desde el centro del hexágono regular a cualquiera de sus lados, se le llama apotema…

– ¡Vaya nombres que les ponen!

– Sí, la verdad es que algunos no son fáciles de recordar. Te dibujo la apotema para que lo veas…

Entonces, con lo que me has dicho antes y lo que te he contado ahora de la apotema… ¿Cuál crees que sería el área del hexágono regular?

– Seeeríaaaa… seis por…  el lado por la apotema entre dos ¿no?

– ¡Muy bien!

¿Te acuerdas de lo que era el perímetro?

– Sí… lo que sumaban los lados.

– Eso es, así es como se calcula. El perímetro de una figura geométrica es la suma de las longitudes de los lados de dicha figura.

¿Cuál será el perímetro del hexágono regular? Recuerda que por ser un polígono regular todos sus lados miden lo mismo.

– Pueeess… seis lados… bueno seis veces el lado, o sea, seis por el lado.

– Bien, fíjate que eso mismo aparece en la fórmula que tú has escrito antes del área…

… Así que, si en lugar de “seis por el lado” pones “perímetro”, lo que te queda es la fórmula general con la que puedes calcular el área de un polígono regular, no sólo del hexágono sino de cualquiera, conociendo su perímetro y su apotema…

Pero Vera, lo más importante es que tengas claro que, al fin y al cabo, lo que estás haciendo es dividirlo en triángulos y sumar sus áreas.

En el hexágono regular te han salido 6 triángulos, si hubiese sido un pentágono regular (con 5 lados) te hubiesen salido 5 triángulos, con un heptágono regular (de 7 lados) saldrían 7 triángulos… pero siempre haces lo mismo sea cual sea el polígono regular.

– Sí, lo he entendido.

– Eso es lo mejor Vera, que seas capaz de ver por qué son las cosas. No tiene sentido aprenderte una fórmula sin saber por qué es así.

Y si ahora te dibujo una figura que no sea ninguna de las que hemos visto antes…

… ¿cómo calcularías su área? Piensa en lo que hemos hecho antes para calcular el área del hexágono con los triangulitos.

– ¿Dividiéndola en triángulos también?

– Esa es la idea Vera, aunque no tienen por qué ser sólo triángulos ni tampoco iguales. Lo que hay que hacer es dividir la figura en otras que sí sepas calcular sus áreas y sumarlas.

Por ejemplo, puedes dividirla en un triángulo y un trapecio…

… o en tres triángulos y un rectángulo…

… lo divides de la forma que te resulte más cómoda.

– Sí, parece un puzle… ¡a mi me gustan los puzles!

– Bueno, son muchas cosas ya. Lo importante es que te quedes con la idea de todo lo que hemos visto. Si lo piensas, en realidad has empezado con los cuadraditos y, sabiendo tan solo calcular el área de un rectángulo, y moviendo las piezas del puzle, has hecho todo lo demás.

Para terminar ya, te voy a enseñar una cosa que creo que te va a gustar…

– ¿Y esos puntos rojos?

– Con un punto empezamos todo esto ¿recuerdas?

Fíjate que los puntos están colocados formando una especie de cuadrícula, parecida a la que dibujaste tú de tu cuaderno. La distancia que hay entre dos puntos seguidos en horizontal o en vertical es una unidad de medida de longitud.

Ahora voy a dibujar un polígono…

– ¿Esooo?… ne sé si me va a gustar tanto como me decía… ¡Ahí me van a salir muchos triángulos! ¡Vaya lio!

– No, no, tranquila… no te voy a pedir que calcules su área.

– Uffff… ¡menos mal!

– Sólo quiero que cuentes los puntos que están en el borde de la figura y los puntos que están en el interior de la figura…

… rodea de azul, por ejemplo, los del borde, y de amarillo los del interior, y así te aseguras de que no te quedas ninguno sin contar y de que tampoco los cuentas dos veces.

– Vale…

… me salen 1, 2, 3, … 10 en el borde y… 1, 2, … 7 dentro.

¿Y ahora?

– Ahora viene la magia, Vera.

– ¿La magia?

– Claro. Haz una cosa: al número de puntos del interior súmale la mitad de los puntos del borde y réstale 1… como la fórmula que estoy escribiendo…

– No me cabe… ¿puedo ponerlo debajo?

– Claro que sí Vera.

– Vale. Lo pongo con una flecha para que se vea que es lo de arriba…

…siete más diez entre dos… menos uno… igual a siete más cinco menos uno… ¡Ya está! Me sale 11.

– Pues ya has calculado el área de la figura.

– No, no lo he hecho… no la he dividido en triangulitos ni nada.

– Sí que lo has hecho… con la ayuda de la magia de las matemáticas. En este caso, que coinciden los vértices del polígono con los puntos rojos de la malla, se puede calcular el área de la manera que tú lo has hecho: puntos del interior más la mitad de los puntos del borde menos uno… y te han salido 11 unidades al cuadrado, porque es una superficie.

Y esta magia se conoce como el Teorema de Pick.

¿Te ha gustado?

– ¡Síiiiii! ¡Está chulo! … Pero tengo una duda… ¿un punto tiene área?

– ¡Buena pregunta Vera! No, no tiene área, aunque al representarlo físicamente parece que sí. El punto es como una figura geométrica sin dimensión, no tiene ni longitud, ni área, ni volumen… de hecho, dentro del polígono habría infinitos puntos, todos los que quieras.

– Ya, algo así como lo de la recta de los números ¿no? que entre dos números decía que había infinitos números…

– Sí esa es la idea, aunque en el plano.

– Ya… pueeessss… a mi me parece un poco raro que en algo que tiene un área concreta se puedan meter infinitas cosas.

– Vera… creo que nos lo vamos a pasar bien tú y yo juntas… tenemos mucho que descubrir aún por delante.

¿Sabes? Casi siempre en lo sencillo está lo más hermoso.

Esta entrada participa en la Edición 6.7: El punto del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es Matifutbol