Arañas, matemáticas y medallas Fields

Quizás el medallista Fields más mediático es sin duda Cédric Villani, apodado como el “Lady Gaga” de las matemáticas, con su vestimenta de actor de tetaro del siglo XIX y sus vistosas arañas en la solapa. Y esas arañas han tenido sus consecuencias, como veremos a continuación.

Araniella villanii

Prácticamente cada día se descubren nuevas especies animales, a cada uno de los cuáles debe asignarse el nombre latino siguiendo las clasificaciones que en su día propuso Carlos Linneo. La bióloga Alizera Zamani, estudiante de doctorado en la Unidad de Biodiversidad de la Universidad de Turku en Finlandia, ha coordinado un trabajo para identificar una nueva especie de araña, de vistoso color verde, y que forma parte de la familia de las llamadas arañas tejedoras, las Araneidae. Ese brillante color verde le sirve para camuflarse en la vegetación donde construye sus redes y atrapa pequeños insectos.

Cédric Villani

Esta araña ha sido bautizada como Araniella villanii, en honor de Cédric Villani, por dos motivos. Uno, la afición declarada de Villani por estos artrópodos. La otra, la rigurosidad matemática con que esta familia construye sus telarañas. Por ejemplo, una de sus primas, la Araneus diadematus, típica de nuestros jardines, va formando hilos que salen radialmente desde un punto central. Luego la araña se mueve a lo largo de una trayectoria en espiral colocando una hebra continua para completar la telaraña. En realidad, la araña construye dos espirales: la primera es una espiral guía no pegajosa, la segunda es una con adhesivo. A medida que la espiral adhesiva se coloca en su lugar, la araña retira la espiral guía. Esta seda pegajosa es la que tiene la función de atrapar a pequeños insectos. La araña se coloca en algún lugar discreto, cerca del origen de la telaraña hilada y espera la llegada de su presa, que alerta a la tejedora al notar una alteración. La araña construye todo esto dentro de un marco hecho de hilos de seda y existen también otros hilos de apoyo.

Las matemáticas no terminan aquí, las espirales siguen una sucesión de Fibonacci, que optimiza la construcción y la resistencia de la red. Pero la propia constitución de los hilos y sus cambios ante tensiones, explican que se pueda romper un hilo sin que el conjunto sufra, lo que no ocurre en una construcción arquitectónica o ingenieril. Como comenta Manuel Elices Calafat en su discurso de entrada en la Real Academia de Doctores de España, “Las arañas y sus telas, un paradigma multidisciplinar”:

“La  estructura  de  la  red  está  optimizada  para  diversas  funciones,  entre  ellas: repartir eficientemente las acciones exteriores, atrapar las presas y ser tolerante  al  daño  (un  nuevo  concepto  que  los  ingenieros  empiezan  a  tener  en cuenta en el diseño de estructuras).”

Una de las cuestiones que he querido resolver es que tipo de espiral construía este tipo de arañas, las de jardín. En el artículo “Spider Webs: Creepy or Cool?“, de Alicia Bautista   se puede ver como “la construcción comienza con la identificación por parte de la araña de dos soportes estructurales verticales. Después de ascender uno de los soportes, la araña predice perfectamente la longitud de seda que necesitará para alcanzar el otro soporte vertical. Una suave ráfaga de viento es todo lo que la araña necesita para llevarla al otro lado. Una vez que la primera hebra es construida y fortalecida por múltiples hebras, la araña construirá tres radios y un telar de fondo. Se construyen más radios en el marco y luego se construye una espiral logarítmica temporal. A continuación, la araña se da la vuelta y construye una espiral aritmética mientras que simultáneamente se come la espiral temporal.

Recordemos que la espiral logarítmica aparece por primera vez en un escrito de  Descartes, en 1638,  aunqie el nombre se debe a Jackob Bernouilli, que la llama “Spira mirabilis” al quedar fascinado por su belleza. Su propiedad característica es que la tangente en cada punto forma con el radio siempre el mismo ángulo. También puede ser construida a partir de rectángulos aúreos. Su ecuación en coordenadas polares (r, θ) es

r = a b^θ

Espiral logarítmica

Por otra parte, la espiral de Arquímedes tiene como ecuación polar

r = a + b θ

Espiral de Arquímedes

Las diferencias son evidentes.

De todo esto concluimos que el nombre de la nueva araña está más que justificado; las arañas han probado ser grandes dominadoras de las matemáticas y la ingeniería.

Les dejamos con un video en el que una de nuestras amigas construye su telaraña

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).