Comparando fracciones con un cortapizzas

Supón que tenemos las dos fracciones siguientes…

Si te pregunto que cuál de ellas es mayor seguro que no tendrías problema en responderme que la de la derecha, pues teniendo las dos el mismo denominador (cinco) el numerador es mayor en la segunda (tres es mayor que dos). De cinco partes en la de la derecha estamos considerando tres, mientras que en la de la izquierda consideramos sólo dos.

Si ahora te pregunto lo mismo con estas otras dos fracciones…

Me responderás rápidamente que la de la izquierda, ya que teniendo ambas fracciones el mismo numerador (tres), el denominador es menor en la de la izquierda (cuatro es menor que cinco). Es decir, en la de la izquierda son tres partes de cuatro, mientras que en la de la derecha son tres partes pero de cinco y, por tanto, menos cantidad.

Y ahora ¿cuál de estas dos fracciones es mayor?

Quizás dudes un poco, porque la de la derecha tiene el numerador mayor (cinco es mayor que cuatro) pero también tiene el denominador mayor (seis es mayor que cinco) y no parece estar muy claro qué pesa más de las dos cosas para considerar si es mayor o menor que la de la izquierda.

Pero entonces, para salir de dudas, decides dibujarlo, porque dibujar las cosas suele ayudar mucho en matemáticas…

… y compruebas que el área sombreada es mayor en el dibujo de la derecha, lo que aprecias mejor aún fijándote en la parte no sombreada (como si estuvieses comparando porciones de pizza que faltan)…

(con hambre de por medio no te cabe la menor duda de que en la de la derecha queda más pizza)

… con lo que contestas acertadamente que la fracción de la derecha es mayor que la de la izquierda.

 Bien, sabías que lo de dibujarlo te podía ayudar.

Pero ahora te planteo estas otras dos fracciones…

… y te pregunto lo mismo ¿cuál es mayor?

Ni tienen el mismo numerador ni tampoco el mismo denominador, además la que tiene el numerador mayor también tiene el denominador mayor y, para colmo, si intentamos dibujarlo… ¡ufff! … se ve prácticamente todo sombreado en los dos dibujos (las dos pizzas se ven casi enteras)… ¡no se aprecia nada!

Entonces se te enciende la bombilla y dices… ¡la calculadora!

Raudo y veloz, calculadora en mano, haces las divisiones y…

… como diría el personaje que interpreta Luis Cao, gran actor y persona, en la genial obra de teatro The Gagfather de la compañía Yllana… ¡Oh my god!

¡No puede ser! ¡No puede salir lo mismo!

Te das cuenta de que es culpa del redondeo de la calculadora… ¿Y cómo se hacía para que saliesen más decimales?

¡Uff! Ni idea.

¿Y ahora qué haces?

Te resignas y comienzas a hacer la división a mano…

¡Puff! ¡Qué pereza!

¿Y si resulta que siguen coincidiendo y hay que sacar más y más decimales?

¡Además son dos divisiones!

Tiene que haber otra forma de hacerlo.

Entonces, te acuerdas de aquella lupa matemática que se utilizó en su momento en el blog para amplificar la diferencia que había entre dos raíces, que en su momento funcionó muy bien, y decides probar…

… sin embargo te das cuenta de que en este caso no funciona, y lo único que hace es empeorar las cosas.

 Pero caes en que antes te había ayudado el fijarte en la porción que faltaba de pizza para comparar mejor, y decides empezar por ahí.

¡Voy a utilizar un cortapizzas matemático!

 

 Y ahora ¿cuál de estas dos porciones que faltan es mayor?

A simple vista… parece que estás en las mismas.

Necesitas que en algún momento te salga algo igual en las dos fracciones sobre lo que puedas apoyarte para poder compararlas.

Se te ocurre una idea y decides seguir con eso de las partes y las porciones…

 

¡Ya tienes lo que querías!

Cada una de esas porciones es una parte de 1/1000. Así que ahora es cuestión de ir hacia atrás.

Porque cuanto menor es la porción que falta mayor es la porción que hay.

¡Lo has resuelto!

Pero… ¿Estará bien?

¿Por qué no iba a estarlo? Todo lo que has hecho tiene sentido.

De todas maneras, para que no te quepa duda alguna, nos sacamos un as de la manga y hacemos las divisiones con una aplicación fantástica que tenemos en internet…

¡Haber empezado por ahí! exclamas…

Pero yo te contesto que entonces no aprenderíamos nada y no podríamos descubrir cosas nuevas.

Y lo más interesante de todo esto es que lo hemos hecho sin necesidad de realizar multiplicaciones ni divisiones, sólo cortando porciones.

Obviamente, podemos resolver este problema transformando las dos fracciones en otras dos fracciones equivalentes respectivamente con un denominador común, que en definitiva es el procedimiento que se enseña habitualmente, y lo haríamos de la siguiente manera…

Teniendo ya las dos fracciones el mismo denominador (el total se ha dividido en el mismo número de partes) podemos compararlas fácilmente fijándonos en su numerador, y volvemos a comprobar que la de la izquierda es mayor que la de la derecha.

Eso sí, tenemos que hacer las multiplicaciones y puede que los números sean de más dígitos aún y no siempre tendremos una calculadora a mano. Pero, si lo único que queremos es comparar dos fracciones, en circunstancias normales puede ser lo más rápido

Lo que está claro es que cuanto más recursos tengamos mucho mejor, porque podremos utilizar unos u otros según nos venga mejor, y puede que para lo que tengamos que hacer sea más útil esto de las porciones y el cortapizzas.

Las imágenes utilizadas en la entrada son de autoría propia.

A partir de una idea de Math with bad drawings.

The Gagfather es una divertidísima obra de la compañía Yllana, protagonizada por cuatro grandes actores y personas: Juanfran Dorado, Jony Elías, Luis Cao y Fidel Fernández. Os la recomiendo, os aseguro que no os arrepentiréis.

Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios