Conjuntos arbitrarios

Ayer estuve en una charla de Pepe Ferreirós, especialista en historia y filosofía de la matemática, sobre la noción de "conjunto arbitrario", y fue de lo más interesante..Un conjunto es no-arbitrario cuando puede definirse mediante una fórmula o predicado, es decir, mediante un enunciado con una variable no ligada por ningún cuantificador ("el conjunto de todos los x tales que Fx", donde "Fx" es, p.ej., "x es un número primo"). Un conjunto arbitrario es, por lo tanto, un conjunto que NO puede ser definido mediante ninguna fórmula. Fijémonos, para mayor claridad, en los conjuntos formados por números naturales (es decir, si N es el conjunto de todos los números naturales, hablamos de los subconjuntos de N)..¿Qué subconjuntos de N son arbitrarios? La respuesta es que casi todos:.Como sabéis, llamando "A0" ("aleph-sub-cero", pero no voy a ponerme a buscar el símbolo "aleph") a la "cantidad" de números naturales (la "cardinalidad" de N), hay 2^A0 (dos elevado a A0) subconjuntos de N, cantidad que, curiosamente, es igual a la "cantidad" de números reales, o la cardinalidad del conjunto R (bueno, no tan curioso, como veremos en un momento), y 2^A0 es necesariamente mayor que A0. Un problema abierto de la teoría de conjuntos es si hay algún conjunto que sea mayor que N pero menor que R; que NO lo hay, es decir, que TODOS los subconjuntos de R tienen, o bien el mismo tamaño que N (son "infinitamente contables"), o bien el mismo tamaño que R (es decir, que 2^A0= A1) es la famosa "hipótesis del continuo"..Pero, por otro lado, hay SÓLO "infinitamente contables" fórmulas construibles con un lenguaje finito, y por lo tanto, la cantidad de conjuntos no-arbitrarios (o sea, los definibles mediante esas fórmulas) es A0..Así pues, si N tiene 2^A0 subconjuntos, pero SÓLO A0 de esos conjuntos son definibles, resulta que hay 2^A0 - A0 (igual, naturalmente, a 2^A0) subconjuntos arbitrarios de números naturales..¿Cómo "identificar", o al menos, cómo "concebir" o "referirnos a" un subconjunto arbitrario de números naturales? Ferreirós mostró en su charla un procedimiento muy intuitivo. Imaginemos que representamos (como se hace normalmente) cada número real mediante un número decimal infinitamente largo; para simplificar, podemos pensar en los números reales comprendidos entre 0 y 1, todos los cuales tienen la forma 0,abcdefg..., donde cada letra es un dígito. Para simplificar más aún, supongamos que estamos escribiendo los números en notación binaria, de modo que los dígitos sólo pueden ser ceros o unos. Tenemos, por tanto, todos los números reales comprendidos entre 0,00000.... (que es 0) y 0,1111111...... (que es igual a 1). Los dígitos de la expansión decimal de uno de estos números (lo que va después de la coma) están ORDENADOS, es decir, podemos hablar del PRIMER decimal, el SEGUNDO decimal, el decimal TRICENTÉSIMO OCTOGÉSIMO CUARTO, etc., etc., etc..Pues bien, sea r un número cualquiera de esos (0,01001010001...), y consideremos un conjunto C definido de la manera siguiente a partir de r: .C(r) es el conjunto de todos los números naturales n tales que n pertenece a C(r) si y sólo si el n-simo decimal de r es un 1..(En el ejemplo, C(r) contendrá el 2, el 5, el 7, el 11, y los números correspondientes a los demás LUGARES de la expresión decimal de r en los que halla un 1 en vez de un 0)..Es fácil darse cuenta de que, puesto que entre 0 y 1 están TODAS las expresiones decimales POSIBLES (pues luego se repiten las mismas entre 1 y 2, entre 2 y 3, etc.), este procedimiento nos permite definir TODOS los subconjuntos de N..
Ahora bien, ¿no es esto una paradoja? ¿No hemos definido así TODOS los subconjuntos de N, cuando habíamos dicho que la mayoría de ellos eran arbitrarios, o sea, indefinibles? Pues no: en realidad, la expresión en negrita NO es, por sí mismas, una DEFINICIÓN del conjunto C(r), pues para que lo sea, TODOS los elementos de la definición tienen que ser definibles mediante alguna fórmula, y no hay nada que garantice que el número r sea "definible" mediante una fórmula. P.ej., todos los números racionales son definibles (basta con decir cuál es la fracción a la que son iguales), y muchos (pero "sólo" infinitamente contables) de los irracionales son definibles (p.ej., muchos que son igual a la raíz cuadrada de un número natural, si ésta no es un número natural; p.ej., raiz de 2, raiz de 10, etc.), así como muchos números que son soluciones de ecuaciones. Pero SÓLO hay A0 números irracionales definibles así. La inmensísima mayoría de los números REALES no son definibles, es decir, no podemos dar una FÓRMULA con la que identificarlos, y por lo tanto,el conjunto C(r) (el conjunto de números naturales n tales que el n-simo decimal de r es un 1) no está, en realidad, DEFINIDO..Dicho de otra manera: prácticamente TODOS los números reales no podemos DECIR cuáles son (sólo podríamos decirlo ESCRIBIENDO su serie completa de decimales). Y eso mismo implica que prácticamente TODOS los subconjuntos de números naturales no podemos decir cuáles son..La pregunta obvia es, ¿EXISTEN esos números, y esos subconjuntos? Hay quienes dicen que no, que sólo existe en matemáticas aquello que se puede DEFINIR, y han mostrado que otras ramas de la matemática que habitualmente se fundamentan en la teoría de conjuntos pueden explicarse sin suponer la existencia de esas entidades. La mayoría de los matemáticos piensan que sí, que la existencia de esos números y conjuntos es algo incluso "obvio". Pero en la charla de Ferreirós quedó claro que no hay argumentos convincentes para ninguna de las dos posiciones (y no sólo tienen por qué ser esas dos).
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