¿Cuándo se escribe a con hache y sin hache?

Existen tres palabras homófonas con el sonido [a]: a, ha y ¡ah!
a: es una preposición que se escribe sin h.Se dedica a la horticultura.
ha: es la tercera persona del singular del presente de indicativo del verbo haber.En el uso actual esta forma verbal solo se emplea como verbo auxiliar en formas compuestas, por lo que siempre va seguida de un participio.Por fin ha encontrado un trabajo que le gusta
¡ah!: es una interjección, empleada para expresar admiración, sorpresa o pena. Se escribe entre signos de exclamación.¡Ah, qué tiempos aquellos!
La duda y los errores ortográficos que conlleva vienen provocados por las dos primeras palabras: a y ha. Para comprobar cuál de ellas es la adecuada, podemos aplicar esta regla: Si admite la n, admite la h.
Podremos cambiar el número de la forma singular ha a la forma plural han en caso de que se trate del verbo haber, pero no podremos hacerlo si se trata de la preposición, pues es invariable:Por fin ha encontrado un trabajo que le gusta. →Por fin han encontrado un trabajo que le gusta.Se dedica a la horticultura. *Se dedican an la horticultura.
Fuente: Las 500 dudas más frecuentes del español (2013). Instituto Cervantes.