El problema de Monty Hall (o de las tres puertas)

El problema de Monty Hall debe su nombre al presentador del popular concurso de televisión " Let's Make a Deal " en el que apareció este juego. Un concursante tiene que escoger entre tres puertas detrás de las que se esconde el premio, en dos de ellas hay una cabra y en la otra un coche. Tras seleccionar una de las puertas Monty Hall, el presentador del programa, abre una de las dos que el concursante no ha seleccionado, donde siempre hay una cabra. Dando la posibilidad al concursante de cambiar de puerta. ¿Cuál es la mejor opción para ganar el coche? Aunque parezca antiintuitivo, las posibilidades de ganar el coche aumentan si se cambia la puerta seleccionada. Siendo esto lo que se conoce como el problema de Monty Hall.

¿Por qué cambiar de puerta?

Ahora podemos ver porque es aconsejable cambiar de puerta. Al comenzar el juego tenemos una probabilidad de ganar el coche 1/3 y 2/3 de ganar una cabra. Salvo que deseemos una cabra es aconsejable cambiar de puerta porque después de abrir una las probabilidades se mantienen exactamente igual.

Al mantener la primera opción se mantienen las posibilidades iniciales, 1/3 de ganar el coche y 2/3 de ganar la cabra. Ahora la probabilidad de obtener cualquier premio no ha cambiado a 1/2. La puerta que no se seleccionada en primer lugar tiene ahora el doble de posibilidades de ganar. Algo que se puede entender mejor con más puertas.

El juego con más puertas

Supongamos que en vez de 3 hay 10 puertas. En tal caso las posibilidades de ganar son 1/10 en la primera elección. Ahora si el presentador va eliminado el resto de las puertas hasta que no queda más que dos. ¿Nos quedamos con la primera opción? Realmente no, porque en tal caso las nueve puertas que no elegimos inicialmente tenían una probabilidad de 9/10, probabilidad que ahora corresponde a una única puerta.

Pero ¿con dos puertas las probabilidades no son del 50%?

Con dos puertas sin información adicional sí, pero en este caso donde la propia mecánica del juego nos aporta información adicional para que no sea así. Por lo que las probabilidades de ganar con una u otra puerta no son las mismas.

Es lo mismo que en una carrera de caballos. Si nos mandan escoger entre dos caballos al azar en una carrera tenemos una posibilidad del 50% de escoger al ganador. Basándonos para ello en el nombre del caballo o cualquier otra característica que no tiene que ver con las capacidades. Pero, sí sabemos que uno de ellos ha ganado múltiples carreras en el pasado y otro no, las opciones de seleccionar el campeón son mayores. Esto es, la información es importante.

Otra manera de pensar sería darnos cuenta de que la mecánica del juego nos permite escoger entre seleccionar dos puertas, las que no se han seleccionado en primer lugar, puertas o una, la que se ha seleccionado en primer lugar. ¿En qué situación hay más posibilidades de ganar? Visto así el problema posiblemente nadie dude que la mejor opción es cambiar de puerta.

Conclusiones

En esta entrada hemos usado el problema de Monty Hall para ver cómo la información es importante, incluso en elecciones aleatorias. Asumir que al elegir entre dos opciones siempre las posibilidades son siempre del 50/50 es algo que es erróneo. Ya que si existe información adicional es posible las probabilidades no están repartidas por igual.

Imagen de Arek Socha en Pixabay