Otro problema fundamental en combinatoria es el del conteo. El problema de saber contar cuantas estructuras existen cumpliendo unas ciertas propiedades es central no sólo en la combinatoria, sino en distintas áreas de las matemáticas: saber contar bien cuantas permutaciones existen con ciertas obstrucciones, o cuantos diagramas con un número fijado de vértices se pueden dibujar en la esfera tiene implicaciones muy profundas en la teoría de representación de grupos, la teoría de los dessins d’enfants, la teoría de probabilidad, la física estadística y, por supuesto, la teoría de la computación.
Modelo discreto de triangulación de una superficie dos dimensional. Autor: Gilles Schaeffer.
Muy recientemente se han realizado contribuciones muy importantes en esta dirección, y en la mayoría de estos casos la combinación de técnicas algebraicas (especialmente con la utilización de las denominadas funciones generatrices) con técnicas combinatorias han permitido describir con más claridad las estructuras combinatorias subyacentes de grandes objetos discretos. Este es el caso, por ejemplo, de los mapas planos, objetos que sirven de modelos discretos de la esfera
Geometría combinatoria
En el último de los ejes, la geometría combinatoria estudia objetos geométricos, como por ejemplo conjuntos de curvas en el plano. Muchas veces el leitmotiv de la geometría combinatoria está relacionado íntimamente con la combinatoria algebraica. Un ejemplo muy representativo de este paradigma es la teoría de politopos. Un polítopo no es más que la generalización geométrica de lo que habitualmente llamamos poliedro (es decir, un objeto geométrico convexo tridimensional cuyas caras son todas planas).
Uno de los mayores logros en el estudio de los politopos es el denominado f-theorema, que caracteriza los f-vectores de los politopos simpliciales o simples. Este resultado, conjecturado por McMullen in 1970, fue demostrado por Richard Stanley en el año 1980 con técnicas puramente algebraicas. Un ejemplo mas reciente es el estudio del asociaedro generalizado y de los abanicos que se deducen, motivado y relacionado con la teoria reciente de las denominadas algebras amontonadas, introducidas por Fomin y Zelevinsky. El workshop cubrirá estas conexiones entre geometría discreta y combinatoria algebraica.
Dos objetos geométricos codificando la estructura combinatoria
de las triangulaciones de un hexágono
Finalmente, dicha actividad se verá complementada con una charla pública del Profesor Speicher en el colloquio conjunto entre el ICMAT y del Departamento de Matemáticas de la UAM. Dedicaremos otro post en el blog para hablar especialmente de dicha charla y del Profesor Speicher.
Más información
http://www.icmat.es/RTAGC/
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Kurusch Ebrahimi-Fard es investigador del ICMAT, Vincent Pilaud, es investigador del CNRS y de LIX, École Polytechnique (Francia) y Juanjo Rué es investigador de la Freie Universität Berlin y del Berlin Mathematical School (Alemania)
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