Epidemia de Fibonacci

Una sucesión es una lista de números. Tiene un primer elemento pero no tiene último número ya que continua indefinidamente. La sucesión de Fibonacci es  esta lista
 1,1,2,3,5,8.13.21,34,55,....
Hay varias formas de construir una sucesión. En este caso usamos dos términos anteriores sumados para calcular el término siguiente.
O sea una fórmula de recurrencia: a_n = a_n-1 + a_n-2
Dónde a₀ = 1 y a₁ = 1 son las semillas o condiciones iniciales
Si dibujamos esta serie en una gráfica vemos un crecimiento explosivo, o en palabras matemáticas exponencial


Cuando Fibonacci inventó su sucesión, la historia que había detrás justificando esta fórmula hablaba de un par de conejos y sus crías. Una auténtica plaga, no es ninguna tontería, preguntádselo a los australianos.
Pero ahora lo podemos actualizar a una historia vírica. La sucesión puede contar el número de contagiados así que empezamos con un contagiado el día 1, tras el periodo de incubación y con la suficiente carga viral el día 3 contagia a otra persona (ya son dos), luego el paciente 1 contagia a otra persona mientras el dos todavía está incubando (ya son 3) y así sucesivamente.
Y este comportamiento de reacción en cadena es el que nos da el comportamiento y el gráfico exponencial
¿Y donde está la típica fórmula exponencial a^x?
Vamos a suponer que la fórmula es  dónde no conocemos k y sustituimos en la fórmula  
a_n = a_n-1 + a_n-2
Y nos da la ecuación característica kⁿ = k^n-1 + k^n-2
kⁿ ➖ k^n-1 ➖ k^n-2 = 0
k^n-2( k² ➖ k ➖ 1) = 0
Las soluciones de esta ecuación  de 2º grado son: k ≅ 1,618  k ≅➖ 0,618
Al final, la fórmula que nos da la lista de números de arriba es una suma de estas dos opciones, y así nos aparece la exponencial
a_n = 0,724·1,618ⁿ + 0,276·(➖ 0,618)ⁿ
IMPORTANTE: quién se lea y entienda esto que no crea ahora que es un experto en epidemiología o virología. Este es lo que se llama un modelo de juguete (toy model)   que aunque ilustra algún aspecto particular (como la propagación exponencial) es demasiado sencillo para reflejar varias facetas de la realidad. Por ejemplo, en este caso los pacientes no dejan nunca de ser contagiosos
Ahora sabemos que en las epidemias víricas existe un número que mide la cantidad media que se contagia a partir de un contagiado en cada generación, llamado número de reproducción R que nos dice cuántas personas (de media) puede contagiar un individuo tras el periodo de incubación. Como este es un modelo MUY sencillo tenemos un primer error en que un contagiado no deja de ser contagioso nunca.
Lo que si podemos introducir en un número que cuantifique a cuanta gente se contagia en cada nueva generación. Y eso es lo que veremos en la próxima entrada.
Otros comportamientos exponenciales como en las burbujas y las crisis se ven en:

•  Darwin y Malthus (2): la burbuja demográfica y la crisis ecológica