La perspicacia de wittgenstein

Tractatus logico-philosophicus, 6.1251:"Por lo tanto, en lógica jamás puede haber sorpresas"(Darum kann es in der Logik auchnieÜberraschungen geben)(cursivas en el original).Por no hacer mucha leña del árbol caído, no hablaremos del teorema de incompletud de Gödel, o de la prueba por Paul Cohen de que hay modelos de la teoría de conjuntos que no cumplen la hipótesis del continuo. Mencionaré sólo que, más o menos a la vez que el bueno de Ludwig escribía esto, se demostraba el teorema de Löwenheim-Skolem. Este teoremilla dice algo curioso, aunque aparentemente inofensivo: si un enunciado tiene un modelo de cardinalidad infinita K, entonces también tiene modelos de cardinalidad infinita K' y K'', para toda cardinalidad K' menor que K y K'' mayor que K..Lo grave es que este enunciado parece llevar a una paradoja: consideremos el enunciado E que consiste en una axiomatización de las propiedades de los números reales; sabemos que de ese enunciado se puede inferir la conclusión de que hay más números reales que naturales, es decir, que la cardinalidad K del conjunto de los números reales es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto de los números naturales (al que diga "¡pues vaya bobada!", se le debe recordar que el conjunto de los números racionales tiene, en cambio, exactamente la misma cardinalidad -el mismo número de elementos- que el conjunto de los números naturales, y por tanto, hay menos números racionales que reales, ¡¡¡pese a que entre cada dos números reales hay infinitos números naturales!!!)..Ahora bien, por el teorema de Löwenheim-Skolem, ¡¡¡el enunciado E tiene un modelo de la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales!!!., es decir, un modelo "infinitamente contable"). Es decir, los símbolos que forman ese enunciado (a partir del cual se puede demostrar que hay MÁS QUE INFINITAMENTE CONTABLES números reales), PUEDEN INTERPRETARSE TAMBIÉN como la descripción de un modelo que tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los números naturales..¡Joder, para no haber sorpresas, ésta era de las gordas!.PS: Algún listillo ya habrá pensado "es que Wittgenstein está hablando de la lógica, no de las matemáticas". A eso el mismo Luisito responde un poco más abajo (6.2): "La matemática es un método lógico")..Enrólate en el Otto Neurath