Números… ¡perfectos!

Con origen en el latín perfectus, la palabra perfecto describe a la cosa, organismo o individuo que reúne el más alto nivel posible de excelencia en relación a los demás elementos de su misma especie o naturaleza.

Ahora bien, la noción de perfección tiene un determinado grado de subjetividad pues, en cierto modo, lo completamente perfecto no existe.

Si hablamos de números, un número perfecto es aquél que es igual a la suma de sus divisores, exceptuando él mismo (estos divisores que no incluyen al mismo número son los que se conocen como factores o divisores propios).

Simplemente para recordar o aclarar, los divisores de un número natural son los números naturales que lo pueden dividir, resultando de cociente otro número natural y de resto 0, es decir, la división es exacta. Cada número tiene una cantidad concreta de divisores. Por ejemplo, los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12; sin embargo, para ver si el 12 es un número perfecto, hemos dicho antes que no hay que considerar al propio número, es decir, sólo tenemos en cuenta los divisores propios de 12: 1, 2, 3, 4 y 6.

1 + 2 + 3+ 4 + 6 = 16 ≠ 12

así que, lamentándolo mucho, el 12 no es un número perfecto…. ¡oooooohhhh!

Si lo relacionamos con los números amigos, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. Si no sabéis qué son los números amigos, os recomiendo que veáis la entrada de este blog que habla de ellos.

Pero volviendo a nuestro tema ¿por qué se les llamó perfectos?

Bueno, ya hemos comentado que esto de la perfección es bastante relativo, pero en la antigüedad se les llamó perfectos porque se le atribuyó a la propiedad que tienen una cierta divinidad. Así, San Agustín (Agustín de Hipona) (354-430) afirmaba en su libro La Ciudad de Dios que Dios creó el mundo en séis días y que el 6, por lo tanto, era un número perfecto (6 = 3 + 2 + 1), al igual que el 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14), que son los días que tarda la luna en dar la vuelta alrededor de la tierra.

Los dos primeros números perfectos (iguales a la suma de sus divisores, exceptuando él mismo) son, precisamente, estos dos que hemos visto, el 6 y el 28.

Los dos siguientes son el 496 y el 8.128:

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8.128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1.016 + 2.032 + 4.084

Estos cuatro primeros números perfectos ya aparecían en la Aritmética de Nicómaco de Gerasa (siglo I); el quinto número perfecto es el 33.550.336, y aparece en un manuscrito del siglo XV; el sexto, el 8.589.869.056, y el séptimo, el 137.438.691.328, fueron descubiertos por Pietro Cataldi en 1588.

El octavo va siendo ya un número bastante grandecito, hablamos del

(donde es 2.147.483.647, el trigésimo primer número de Mersenne) y fue descubierto por Euler en 1750.

Más adelante, utilizando ya calculadoras electrónicas, se pudieron calcular otros tres números perfectos, el último de ellos, el 

, tiene aproximadamente 770 cifras; Entenderéis que no lo escriba con todas sus cifras aquí.

Ya en 1992, utilizando un ordenador Cray-2 (una supercomputadora vectorial construida por Cray Research, Inc. (CRI), en 1985, que fue en su momento la computadora más veloz en el mundo, y que sólo realizaba cálculos matemáticos muy complejos y operaciones lógicas de alto nivel), se calculó el número primo de Mersenne:

.

Computadora Cray-2 y su “cascada” de refrigerante Fluorinert. Fuente de la imagen: Wikipedia.org

A partir de dicho número se obtuvo el número perfecto más grande conocido hasta entonces:

un número que tiene, nada más y nada menos, 455.663 cifras; Si el otro número no lo escribí completo, este menos aún, de hecho para poder escribirlo necesitaría un libro de texto bastante “gordito”.

En la actualidad, el número perfecto más grande descubierto es:

que, como se puede apreciar, se ha obtenido a partir de

, un número primo de Mersenne descubierto el 25 de enero de 2013 por el GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) y el número primo más grande conocido hasta la fecha. Por cierto, este número perfecto tiene… ¡34.850.340 cifras! (con esto, nuestro libro de texto, si escribimos con una letra de 12pt y sin espacios, se nos puede ir a unas 26.000 páginas… que yo creo que para poder manejarlo habría que presentarlo en varios tomos).

A estas alturas, me imagino que ya os habéis dado cuenta de que, a partir de un número primo de Mersenne del tipo

, se puede tener un nuevo número perfecto multiplicándolo por ; Es el conocido como Teorema de Euclides-Euler de los números perfectos. Por eso, cada vez que se descubre un nuevo número primo de Mersenne, se tiene un nuevo número perfecto.

Por último, veamos algunas curiosidades y cuestiones abiertas sobre los números perfectos:

• Todos los números perfectos generados con la fórmula de Euclides son pares y, además, terminan en 6 u 8.

• Sólo hay 12 números perfectos pares con menos de 300 cifras (esto desanima bastante para buscarlos “a mano”).

• No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10³⁰⁰, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 10⁷, dos de ellos deben ser mayores que 10 000 y tres factores deben ser mayores que 100. ¿Alguien se anima con estas pistas? (Es una pregunta más bien irónica… aunque nunca se sabe)

• Los números perfectos impares, en definitiva, constituyen un misterio: nadie ha encontrado ninguno pero tampoco se ha encontrado un argumento que demuestre que no existen.

• Se cree que existen infinitos primos de Mersenne y, por lo tanto, infinitos números perfectos pares, pero aún no se ha conseguido determinar si existen infinitos números perfectos. Hasta el momento se conocen 48 números perfectos.

Después de todo esto, no se si a alguien le han quedado ganas de buscar el siguiente pero, si es así… ¡mucho ánimo… y paciencia!

 Fuentes consultadas:

• El embrujo de los números perfectos. SUMA, noviembre 2007, pp 105-110.
• List of Known Mersenne Prime Numbers. GIMPS.
  
• Número perfecto. Wikipedia.org.
• Cohen. I.N., El triunfo de los números, Madrid, Alianza, 2008.
• Joutte, A., El secreto de los números, Barcelona, Robinbook, 2000.