Total Recall (Desafío Total): La Catarata

Llego con un par de años de retraso (cosas de no poder ir a los estrenos de cine), y el profe de física se me adelantó en su día. Aún así, voy a dedicar el post a la película Total Recall (Desafío Total). No, no me refiero a la de Verhoeven de 1990, sino al remake de 2012. Concretamente, voy a comentar algunos aspectos de la gigantesca estructura que conecta los dos únicos puntos habitados de la futura y apocalíptica Tierra: La Catarata.

Para el que no haya visto la película, La Catarata (poco acertada traducción de «The Fall», que también significa «caída», y es bastante más apropiado) es una especie de gigantesco tren subterráneo que une Gran Bretaña con Australia, atravesando la Tierra. En realidad, más que un tren, sería un ascensor. El vehículo tiene forma de gigantesco cilindro, del tamaño de un edificio de varias plantas, que cae por un tunel casi vertical. No es totalmente vertical, ya que el tunel se curva un poco para rodear el núcleo interno, como se nos muestra varias veces de forma esquemática en las pantallas que hay dentro del vehículo. A mitad de camino, al atravesar el núcleo externo, se experimentan unos minutos de ingravidez, que se aprovechan para dar la vuelta a los asientos, de forma que al volver la gravedad (que lógicamente, lo hace de forma invertida), el arriba y el abajo estén donde deban. El tiempo total de viaje es de 17 minutos. Hacia el final de la peli, justo al terminar de atravesar el núcleo y restablecerse la gravedad, vemos a los protagonistas salir al exterior y ser sometidos a un terrible viento, por lo que se debe deducir que el tunel tiene aire respirable, y la velocidad es soportable.

La idea de una estructura semejante no es nueva. Recuerdo leer de niño uno de los fantásticos libros de Ediciones Plesa, donde se planteaba dicho sistema, aunque con un tunel donde se había hecho el vacío, y conectando dos puntos menos separados en línea recta de forma que no se acercara demasiado al núcleo. Y parece ser que ya se planteó en tiempos de Newton.

Vamos a obviar todo lo relacionado con cómo constuir una estructura semejante, mantenerla, y acondicionar el vehículo para que sus ocupantes sobrevivan, teniendo en cuenta las extremas temperaturas y presiones que podemos encontrar en el interior de la Tierra. Supongamos que en el futuro se han descubierto nuevos y maravillosos materiales que lo permiten, y centrémonos únicamente en las leyes físicas.

Así que empecemos por lo que primero llama la atención: el periodo de ingravidez. Durante todo el viaje, la gravedad en el interior del ascensor es normal, hasta llegar a un punto en el que desaparece bruscamente, para luego volver también de forma brusca. Como podéis suponer, la realidad es diferente. La gravedad varía de forma gradual, no brusca. Y sólo hay un punto donde sea totalmente nula: justo en el centro de gravedad de nuestro planeta.

¿Cómo varía la gravedad a medida que descendemos por un tunel hasta el centro de la Tierra? Nos encontramos ante un problema que afortunadamente para nosotros, ya resolvió Newton en su día: la gravedad en el interior de una esfera. Para calcular la gravedad en un punto, trazamos una superficie esférica imaginaria, con centro en la esfera real, y radio igual a la distancia al punto en cuestión. La esfera queda dividida en dos partes: una esfera más pequeña, con el punto en su superficie, y una cáscara esférica, con el punto en su superficie interior. Si calculamos la gravedad debida a cada una de las partes, y las sumamos, obtendremos el resultado. Pero como la gravedad en cualquier punto del interior de una esfera hueca es nula, sólo debemos calcular la gravedad debida a la porción esférica que está justo debajo del punto. Si suponemos que la esfera es homogénea, de densidad constante, resulta que la masa disminuye de forma cúbica con el radio (linealmente con el volumen, y el volumen es proporcional al cubo del radio). Como sabéis, la gravedad es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Si juntamos ambos efectos, tenemos que la gravedad disminuye de forma lineal a medida que descendemos por el tunel.

Pero en realidad, la Tierra no es homogénea. La densidad del manto es mayor que la de la corteza, y la del núcleo mayor que la del manto. Usando los datos del llamado PREM, a medida que uno desciende, la gravedad se mantiene más o menos constante en la corteza y el manto, llegando a incrementarse al acercarse al núcleo exterior. Pero una vez traspasado ese punto, disminuye de forma más o menos lineal. Sólo se hace cero justo en el centro. Así que no, no se puede producir un periodo de ingravidez de varios minutos. Y teniendo en cuenta que el tunel no atraviesa siquiera el núcleo interno, no hay ningún punto del trayecto en el que la gravedad pueda ser nula.

¿O sí? Como ya he explicado muchísimas veces, caída libre e ingravidez son equivalentes. Alguien podría decir que al estar cayendo el ascensor, se experimentaría ingravidez en su interior durante todo el trayecto. Pero el ascensor no está en caída libre. En el tunel hay aire, como queda de manifiesto al final de la peli, cuando los protagonistas salen al exterior del ascensor. Eso quiere decir que tras unos segundos de caída, la fuerza de la resistencia del aire igualaría a la gravedad, alcanzándose la llamada velocidad terminal, y el ascensor descendería a velocidad más o menos constante. Esto implicaría que el aparato no tendría suficiente velocidad para la segunda parte del trayecto (la subida), y necesitaría algún tipo de propulsión.

Es mas. Dado que en la peli, al inicio del viaje no observamos ingravidez, podemos deducir que el ascensor nunca cae libremente, y que inicia su descenso de manera controlada. Esto es, nunca alcanza una aceleración de 1 g, sino que siempre será menor. Quedaos con este dato.

El tiempo de viaje del ascensor es de 17 minutos. Este es un dato que se repite varias veces a lo largo de la película. El diámetro medio terrestre es de unos 12.742 km. Puesto que el tunel no es recto y rodea el núcleo interno, la distancia sería algo mayor. Pero si hilamos fino, descubriremos que las islas británicas y Australia no están exactamente en sus respectivas antípodas. Las coordenadas geográficas de Londres, por ejemplo son 51° 30' 26" N, 0° 07' 39" O. Sus antípodas, por tanto, están en las coordenadas 51° 30' 26" S, 179° 52' 21" E, un punto situado en el océano, fuera de Australia, más allá de Nueva Zelanda. La distancia en línea recta desde Londres a Sydney, es algo menor que el diámetro terrestre. Así que vamos suponer que una cosa se cancela con la otra, y usemos el diámetro terrestre como distancia. Sólo queremos hacer una aproximación.

Pues bien, recorrer 12.742 km en 17 minutos, supone una velocidad media de casi 45.000 km/h. Para hacernos una idea, la velocidad de escape en la superficie de la Tierra es de 40.320 km/h. Es decir, la velocidad media del ascensor es superior a la de escape. Pero pienso, que es más ilustrativo tener en cuenta que la velocidad habitual de reentrada de los ya jubilados transbordadores espaciales de la NASA, era de unos 30.000 km/h. Y fijáos que lo que he calculado es una velocidad media. Puesto que el ascensor parte del reposo, y frena en su destino, la velocidad máxima es aún mayor. Obviamente, el ascensor no puede estar simplemente cayendo, sino que necesariamente debe llevar algún tipo de propulsión, superior a la de los actuales cohetes espaciales, pero tan pequeña que nunca la vemos en los planos generales. Y obviamente, a esa velocidad, ningún ser humano podría sobrevivir en el exterior del ascensor.

En la red hay varios sitios donde se explica cómo calcular el tiempo de caída libre a través de un tunel al que se le ha hecho el vacío, que atraviese el centro de la Tierra, y suponiendo que la densidad de nuestro planeta es la misma en cualquier punto. Podéis visitar Hyperphysics o Física de Película, por ejemplo, y descubrir que el tiempo total de viaje sería de poco más de 42 minutos. En WolframAlpha Blog van más allá, y han tendido en cuenta la variación de la densidad terrestre a lo largo del trayecto (aunque suponiendo una trayectoria totalmente vertical, atravesando el centro). A ellos les salen 46 minutos, pero en los comentarios lo corrigen, indicando que serían 38 (si al principio del viaje la aceleración de la gravedad no disminuye, tiene sentido que el tiempo sea menor que si consideramos que disminuye linealmente).

En cualquier caso, podemos ver que incluso con la cifra más favorable, el tiempo es muy superior al de la película. Entonces cabe preguntarse ¿a qué tipo de aceleración y posterior frenado es sometido el ascensor? Y fijaos que en caída libre, en el interior se experimentaría ingravidez durante todo el viaje. En el caso de estar sometido el vehículo a una aceleración superior a 1 g, los ocupantes deberían ser empujados hacia el techo. Y si bien los pasajeros van sentados y bien atados con unos arneses, en los planos que nos muestran parece que están bastante cómodos y despreocupados. No parece que estén sufriendo una gravedad invertida, es decir, no parece que estén «boca abajo».

Uno podría suponer que en esa época se ha descubierto algún sistema de gravedad artificial casi mágica, al estilo de Star Trek o Star Wars, de forma que en el interior se pueda tener la gravedad deseada (1 g ó 0 g), independientemente de la aceleración y gravedad real, y algún sistema de propulsión que es capaz de impulsar un gigantesco tren a velocidades superiores a la de escape, en el interior de una atmósfera (la resistencia y aislamiento térmico, ya lo hemos supuesto desde el momento en el que tenemos que atravesar el núcleo). Pero eso no explicaría lo que ocurre al final de la peli (tranquilos, sin spoilers):

Los protas salen al exterior del ascensor, justo tras restablecerse la gravedad (esto es, tras atravesar el núcleo externo), y son perseguidos por los villanos. Vemos como suben por una escalera vertical de servicio, con mucho viento, pero sin demasiadas dificultades, hasta llegar al techo del ascensor, donde se produce un enfrentamiento con los malos. Bueno, vamos a suponer que el tunel está hecho de un material que puede aislarles del calor del manto. Si la velocidad media es mucho mayor que la que sufre un vehículo espacial en la reentrada, los personajes habrían sido incapaces de sujetarse a una escalera vertical. Pero además, tendrían que haber muerto carbonizados. Como sabéis, en una reentrada, los vehículos espaciales se calientan mucho (pudiendo ser trágicamente mortal, si hay algún problema con el escudo térmico). Esto es debido a la enorme velocidad a la que se desplaza. El aire que se encuentra delante de ellos se comprime muy rápidamente, elevando su temperatura. En el caso que nos ocupa, la velocidad es mayor, y la densidad del aire también, por lo que la temperatura exterior debería ser incluso mayor que la que soporta un vehíclo espacial durante la reentrada.

Así que, tal y como está planteado en la peli, el comportamiento del ascensor no tiene sentido. Y fijáos que no es cuestión de tecnología. Es simple física.