Ecuaciones Exponenciales

Las ecuaciones exponenciales se caracterizan por tener incógnitas en la parte del exponente de las bases numéricas. tienen la forma siguiente: a es un numero natural y b numero real

$a, b\in \mathbb{R}$

$a^{ecuacion}=b$

Metodo de Bases

Consiste en igualas las bases y el numero que queda de exponente en el otro miembro se iguala a la ecuación en el exponente, es de rápida resolución sobretodo cuando el numero puede expresarse en forma exponencial por simple inspección.

Ejemplo 1:

$2^{x}=4$

$2^{x}=2^{2}$

Como las bases son iguales, entonces:

$x=2$

Ejemplo 2:

$3^{x+1}=27$

$3^{x+1}=3^3$

Entonces:

$x+1=3$

$x=3-1$

$x=2$

Método de los logaritmos

Cuando no se puede hacer por inspección una ecuación y no se pueda determnara bases iguales, entonces se hace necesario romper la potencia para llegar a una ecuación convencional, para eso se usan logaritmos, aprovechando de una propiedad elemental de los logaritmos:

$a\in \mathbb{R*+}$

$log \hspace{0.1cm} a^{x}=x*log \hspace{0.1cm} a$

Ejemplo 3:

$2^{x+2}=158$

$log \hspace{0.1cm} 2^{x+2}=log \hspace{0.1cm} 158$

$(x+2)log \hspace{0.1cm} 2=log \hspace{0.1cm} 158$

$x+2= \frac{log \hspace{0.1cm}158}{log \hspace{0.1cm} 2}$

$x= \frac{log \hspace{0.1cm}158}{log \hspace{0.1cm} 2} - 2$

$x= 5.3038$

Método de cambio de variables

Se usan cuando hay varios exponenciales con incógnitas, sobretodo cuando las incógnitas tienen coeficientes. Se hace una sustitución para hacer mas fácil la implementacion de las resoluciones

Ejemplo 4:

$2^{2x+1}+2^{x}=20$

$2*2^{2x}+2^{x}=20$

$2*(2^{x})^2+2^{x}=20$

$2*(2^{x})^2+2^{x}-20=0$

En este caso la ecuación se perfila como una ecuación de segundo grado, entonces haciendo cambio de variable tenemos:

$z=2^{x}$

$2z^2+z-20=0$

Tenemos una ecuacion de segundo grado y podemos aplicar la resolvente:

$z_{1}= \frac {-1 + \sqrt {(1)^2 - 4*2*(-20)}}{4}=2.9221$

$z_{2}= \frac {-1 - \sqrt {(1)^2 - 4*2*(-20)}}{4}=-3.4221$

Teniendo los valores de z, elegimos el positivo ya que el negativo es una solucion no real. Entonces operamos sobre la variable z para poder hallar finalmente x:

$2^x=z$