Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones con 2 incógnitas

Los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas son aquellas en la que están involucrados dos ecuaciones formado por números, al menos dos variables, y cuyo objetivo es encontrar una solución, lo que en términos gráficos es un punto o intersección entre las rectas. De aqui se desprende que existen 3 situaciones generales posibles:

El sistema tiene solucion en un punto (x,y) del plano.
El sistema tiene soluciones infinitas
El sistema no tiene solucion.

Forma general, dado las incógnitas x,y los numeros a,b,c,d,e,f tenemos:

Para solucionar un sistema de ecuaciones, existen 4 métodos para resolver un sistema de ecuaciones.

Método de Reducción
Método de Igualación
Método de Sustitución
Método de Determinantes

Método de Reducción

Como el sistema tiene dos incógnitas, la idea de este método es eliminar uno de las incógnitas para que quede la otra incógnita y poder despejarlo y conseguir la solución al sistema.

Ejemplo 1: Solucionar el sistema:

Como la idea es quitar una de las incógnitas, podemos elegir o "x" o "y", por conveniencia elegimos "y" porque 6y es el doble de 3y. Entonces la idea es manipular la ecuación de tal manera que 3y de la primera ecuación se convierta en -6y, tomamos la primera ecuación y operamos:

Como multiplicamos por (-2) a ambos lados, la igualdad de la ecuación no cambia pero obtendremos -6y, que es lo que buscamos y con este obtendremos un sistema equivalente:

De manera que podemos ahora sumar miembro a miembro las ecuaciones como sigue:

Sumamos miembro a miembro como una suma cualquiera, el 6y se elimina quedando --9x+0=3, entonces:

Despejamos y conseguimos el valor de x=-1/3, después de simplificar.

Como ya tenemos x=-1/3, Podemos sustituir el "x" en cualquier de las ecuaciones para despejar "y" obtener el valor de "y".

volvemos a sistema original y tomamos cualquier ecuación, por ejemplo la primera, de nuevo:

De manera que la solución es x=-1/3 , y=5/9, o sea, el punto del plano (x,y)=(-1/3, 5/9)

Confirmando resultado:

Para confirmar si la solución es real podemos sustituir los valores en las dos ecuaciones para confirmar que se cumpla la igualdad:

Sustituimos las variables x,y con los valores respectivos y comprobemos el sistema:

Método de Igualación

En un sistema de igualación se despeja la misma incógnita, puede ser "x" o "y", pero tiene que ser la misma incógnita.
Básicamente se igualan las variables, como "x=x" o "y=y", y se sustituyen por las incógnitas despejadas respectivas y como queda la otra incógnita, se despeja ese para obtener su valor.
Con la incógnita despejada se sustituye su valor en cualquier de las ecuaciones originales y se despeja la otra incógnita.

Ejemplo: Se tiene el siguiente sistema

Se despejan la misma incógnita en cada ecuación:

Si igualan x=x: entonces se despeja la otra incognita:

Se halla que y=2/11, y se procede a encontrar "x", sustituyendo y=2/11 en cualquier de las ecuaciones originales para despejar "x"

Tenemos que la soluciones x=60/11, y=2/11

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en tomar un ecuación y despejar una de las incógnitas, y luego sustituir esta incógnita A en la otra ecuación, para obtener una ecuación de primer grado con una incógnita B, entonces podemos despejarlo para obtener su valor. Con incógnita B con su valor, podemos sustituir en cualquier ecuación original para obtener la incógnita A, y obtener el resultado del sistema.

Ejemplo: tenemos el siguiente sistema:

Tomamos la primera ecuación y despejamos x:

Sustituimos "x" en la segunda ecuación:

Como ya tenemos y=-14/19, entonces sustituimos en cualquier ecuación para obtener "x":

la solucion es x= 79/38, y=-14/19

Método de Determinantes

A diferencia de los anteriores métodos que se basan en el despeje algebraico, aquí se usan las determinantes para hallar el valor de las incógnitas o variables.

El determinante es un valor que esta relacionado o define a una matriz cuadrada, recordemos que la matriz es un arreglo de números formado en filas y columnas.

En el caso de los sistemas de ecuaciones se obtiene la determinante principal del sistema y luego determinantes característica de cada incógnita que exista en el sistema, en este caso dos, que corresponde a "x" y "y"

dado un sistema:

Definimos la forma general de las determinantes para un sistema de 2 incógnitas, en total serian 3 determinantes, una determinante del sistema mas dos determinantes mas que corresponden a x, y.