Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.

También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.

Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.

Pues bien, el Teorema de Pitágoras dice que: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos“.

Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir que el área de un cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de otros dos cuadrados cuyos lados son cada uno de los catetos respectivamente.

Existen muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras. Como ejemplo podéis ver esta pequeña animación de tan solo un minuto en la que se muestran seis demostraciones geométricas, o esta otra con piezas de lego.

Vamos a ver una aplicación práctica del Teorema de Pitágoras para calcular un lado desconocido en un triángulo rectángulo.

Se quiere sujetar un poste vertical de 5 metros de altura con un cable tirante desde su parte más alta hasta el suelo. Si la distancia desde el punto de anclaje del cable en el suelo a la base del poste es de 12 metros, ¿cuánto debe medir el cable?

Como el poste vertical es perpendicular al suelo, forma un ángulo recto con él. Si consideramos el propio poste, el cable y la distancia entre la base del poste y el punto de anclaje al suelo, tenemos un triángulo rectángulo:

Llamando x a la longitud del cable, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se debe cumplir que:

Es decir, el cable debe medir 13 metros.

Antes de seguir, quiero dejar claro que, la ecuación de segundo grado incompleta anterior tendría dos posibles soluciones, 13 y -13, pero al tratarse de longitudes, no tiene sentido el resultado negativo, por lo que solo he tenido en cuenta directamente el positivo. Esto es algo que haremos siempre al utilizar el Teorema de Pitágoras.

Veamos otro ejemplo donde lo que queramos calcular no sea la hipotenusa si no uno de los dos catetos.

Una escalera de 2,5 metros está apoyada en una pared vertical. Si el pie de la escalera está colocado a medio metro de dicha pared, ¿a qué altura llega la escalera?

Al ser la pared vertical, la pared y el suelo son perpendiculares. Si consideramos la escalera, la altura que alcanza ésta, y la distancia del pie de la escalera a la pared, tenemos un triángulo rectángulo:

Llamando h a la altura que alcanza la escalera en la pared, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que:

La escalera llega a una altura de 2,45 metros.

En los dos ejemplos que hemos visto hasta ahora formamos directamente un triángulo rectángulo, pero en muchas ocasiones la figura inicial es otra, y la construcción del triángulo rectángulo la hacemos para poder calcular alguna medida desconocida de ésta.

En el siguiente ejemplo tenemos un trapecio y vamos a utilizar un triángulo rectángulo para calcular uno de sus lados:

Calcula el perímetro del siguiente trapecio:

El perímetro del trapecio es igual a la suma de las longitudes de sus cuatro lados. Para calcularlo necesitamos primero calcular la longitud del lado inclinado, que desconocemos.

Llamando x al lado desconocido, podemos considerar el triángulo rectángulo que se muestra en la siguiente figura:

Tenemos, por tanto, un triángulo rectángulo de hipotenusa x y catetos de 15 y 10 cm. Aplicando el Teorema de Pitágoras:

El lado del trapecio que nos faltaba por saber mide 18,03 cm, por lo que el perímetro será:

El perímetro del trapecio es de 83,03 cm.

Por último, os voy a poner un ejemplo de la otra posible aplicación que os comentaba al comienzo que tiene el teorema de Pitágoras: comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si es un triángulo rectángulo o no.

Comprueba si los siguientes segmentos forman triángulos rectángulos:

a) 25 cm, 24 cm, 7 cm.

a) 12 cm, 15 cm, 4 cm.

Vamos con el primero.

Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir que el cuadrado del mayor de los tres segmentos sea igual a la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos.

El cuadrado del segmento de mayor longitud (el segmento de 25 cm) es:

Y la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos es:

Como podemos observar, se cumple el Teorema de Pitágoras y, por tanto, podemos afirmar que los segmentos de 25 cm, 24 cm y 7 cm forman un triángulo rectángulo.

Veamos ahora el segundo:

El cuadrado del segmento de mayor longitud, que en este caso es el segmento de 15 cm, es:

Y la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos es:

No son iguales, por lo que no se cumple el Teorema de Pitágoras y, en consecuencia, el triángulo que forman los segmentos de 12 cm, 15 cm y 4 cm no es rectángulo.

De hecho podemos afirmar que dichos segmentos forman un triángulo obtusángulo (tiene uno de sus ángulos obtusos, es decir, mayor de 90 grados).

¿Qué por qué lo se?

Es muy sencillo. Se cumple siempre que:

Si el cuadrado del lado de mayor longitud es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados se trata de un triángulo obtusángulo (triángulo con un ángulo obtuso, mayor de 90 grados).

Si el cuadrado del lado de mayor longitud es igual que la suma de los cuadrados de los otros dos lados es un triángulo rectángulo (es lo que dice el Teorema de Pitágoras).

Y, si el cuadrado del lado de mayor longitud es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados se trata entonces de un triángulo acutángulo (triángulo con los tres ángulos agudos, menores de 90 grados).

Espero que todo esto que os he contado os haya gustado y os sea útil.

Y recordad una cosa: El Teorema de Pitágoras solo se cumple en triángulos rectángulos, así que si el triángulo no es rectángulo no lo podemos utilizar.

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