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Cocientes, L'Hôpital y más allá.

Publicado el 30 marzo 2012 por Eliatron
Si has seguido un curso básico de cálculo o si tus profesores de bachillerato han dado todo lo que debían dar, o incluso si alguna vez te has encontrado con un límite complicadete, seguro que conoces la Regla de L'Hôpital, y si no la conoces o bien quieres conocer una curiosa historia sobre ella, te recomiendo leer la entrada ¿La regla de L'Hôpital o la regla de Bernoulli?.
Pero claro, esta regla sólo es válida, y esto lo suelen olvidar a menudo muchos alumnos, cuando nos encontramos con una indeterminación del cociente Cocientes, L'Hôpital y más allá. ó Cocientes, L'Hôpital y más allá., y no existe algo similar para el resto de indeterminaciones (del producto: Cocientes, L'Hôpital y más allá., de la diferencia Cocientes, L'Hôpital y más allá. o de la potencia Cocientes, L'Hôpital y más allá., Cocientes, L'Hôpital y más allá. e Cocientes, L'Hôpital y más allá.).
 La razón de esta ausencia es que cualquiera de las indeterminaciones anteriores puede convertirse, más o menos fácilmente, en una indeterminación del cociente.
El caso más sencillo es el del producto. Si Cocientes, L'Hôpital y más allá., entonces basta con enviar una de las funciones al denominadorpara obtener una indeterminación del cociento. En efecto, si mando la primera, resulta que Cocientes, L'Hôpital y más allá. y como Cocientes, L'Hôpital y más allá. se tiene que Cocientes, L'Hôpital y más allá., por lo que el cociente anterior es una indeterminación del tipo Cocientes, L'Hôpital y más allá.. De forma análoga, si se manda la segunda función, obtenemos que Cocientes, L'Hôpital y más allá. y la función del cociente Cocientes, L'Hôpital y más allá. ya que Cocientes, L'Hôpital y más allá., por lo que este segundo cociente es de la forma Cocientes, L'Hôpital y más allá.. En cualquiera de los dos casos, podemos aplicar la Regla de L'Hôpital. Por ejemplo, Cocientes, L'Hôpital y más allá. y en este segundo límite, podemos aplicar L'Hôpital y obtener que Cocientes, L'Hôpital y más allá..
En el caso de las indeterminaciones de las potencias,basta con tomar logaritmos y utilizar que éste es una función continua, por lo que se intercambia con el símbolo límite. Por ejemplo, si Cocientes, L'Hôpital y más allá. es una de las 3 indeterminaciones, en lugar de calcular el límite Cocientes, L'Hôpital y más allá. lo que hacemos es calcular Cocientes, L'Hôpital y más allá.. Y hemos transformado una potencia en un producto. Lo curioso del caso es que si Cocientes, L'Hôpital y más allá. es una indeterminación de potencia, Cocientes, L'Hôpital y más allá. es una indeterminación del producto (y viceversa): Cocientes, L'Hôpital y más allá. se convierte en Cocientes, L'Hôpital y más allá. Cocientes, L'Hôpital y más allá. se convierte en Cocientes, L'Hôpital y más allá.e Cocientes, L'Hôpital y más allá. se convierte en Cocientes, L'Hôpital y más allá.. Por cierto, si crees que Cocientes, L'Hôpital y más allá. es una indeterminación, ten en cuenta que al tomar logaritmos se convierte en Cocientes, L'Hôpital y más allá., que no es una indeterminación.
En cualquiera de los 3 casos, nos hemos reducido al caso de una indeterminación del producto, y ésta la sabemos convertir en un cociente para aplicar L'Hôpital. Por cierto, suele ser recomendable no pasar al cociente el logaritmo.
Para concluir, vamos a tratar la indeterminación de la diferencia, es decir un límite del tipo Cocientes, L'Hôpital y más allá. donde Cocientes, L'Hôpital y más allá.. Esta es ya algo más complicada y hay que jugar un poco con la expresión:
Cocientes, L'Hôpital y más allá. Y ahora, ¿qué le ocurre a esta última expresión? Pues que es una indeterminación del tipo Cocientes, L'Hôpital y más allá.. En efecto, como Cocientes, L'Hôpital y más allá., se tiene que Cocientes, L'Hôpital y más allá., luego el numerador tiende a 0. Además, es claro que Cocientes, L'Hôpital y más allá. por lo que el denominador también tiende a 0.
En teoría, todo esto que os he contado está muy bien, pero resulta que en la práctica, este método puede resultar muy complicado, por lo que se suelen utilizar otros. Uno de los más usados, en especial cuando hay radicales de por medio, es multiplicar por el (mal llamado) conjugado, es decir, multiplicar y dividir por la expresión Cocientes, L'Hôpital y más allá.. De esta forma, creamos un denominador que tiende a Cocientes, L'Hôpital y más allá. y en el numerador nos encontramos con una expresión notable: suma por diferencia, que es igual a la diferencia de cuadrados. De esta forma, si hay raíces cuadradas implicadas, desaparecen y quizás (sólo quizás), pueda conseguirse un numerador sencillo que tienda bien a un número (con lo que desaparecería la indeterminación), bien a Cocientes, L'Hôpital y más allá. (con lo que tendríamos una indeterminación del tipo Cocientes, L'Hôpital y más allá. y podríamos aplicar L'Hôpital).
Bueno, si has llegado hasta aquí, espero no haberte aburrido demasiado y que hayas aprendido (o recordado) algunos truquitos para calcular límites.
Tito Eliatron Dixit 
 
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